Matematyka.pl

Wyznaczyć wielomian \(\displaystyle{ W}\), którego pierwiastki są sześcianami pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ x^3+ax^2+bx+c}\).

Niech \(\displaystyle{ p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c = (x-u)(x-v)(x-w)}\) i \(\displaystyle{ t = \sqrt[3]{x}}\), \(\displaystyle{ \omega = \sqrt[3]{1} \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \begin{align*}
(x-u^3)(x-v^3)(x-v^3) & = (t^3-u^3)(t^3-v^3)(t^3-w^3) \\
& = (t-u)(\omega t - u)(\omega^2 t - u)(t-v)(\omega t - v)(\omega^2 t - v)(t-w)(\omega t - w)(\omega^2 t - w) \\
& = p(t) p(\omega t) p(\omega^2 t),
\end{align*}}\)

czyli szukanym wielomianem jest \(\displaystyle{ p( \sqrt[3]{x} ) \cdot p( \omega\sqrt[3]{x} ) \cdot p( \omega^2 \sqrt[3]{x} )}\).

A można jeszcze "wrócić" do \(\displaystyle{ a,b,c}\) (np. wyraz wolny to będzie \(\displaystyle{ c^3}\) itd. )

Oczywiście, wystarczy wymnożyć. :]

No właśnie - wystarczy wymnożyć. Benedyktyńska praca. A skoro i tak sie trzeba napracować, to zróbmy to klasycznie
Niech `x^3+ax^2+bx+c=(x-u)(x-v)(x-w)` i niech `x^3+px^2+qx+r=(x-u^3)(x-v^3)(x-w^3)`. Vieta nam powiedział, że
\begin{align}
u+v+w&=-a &(1)\\
uv+vw+wu&=b&(2)\\
uvw&=-c&(3)
\end{align}
i
\begin{align}
u^3+v^3+w^3&=-p &(1a)\\
u^3v^3+v^3w^3+w^3u^3&=q&(2a)\\
(uvw)^3&=-r=-c^3&(3a)
\end{align}
Teraz
`(u+v+w)^2=u^2+v^2+w^2+2(uv+vw+wu)`, więc
\begin{align}u^2+v^2+w^2&=a^2-2b ,& (4)\end{align}
i
\begin{align}
(u+v+w)(u^2+v^2+w^2) &=u^3+v^3+w^3\\
&\phantom{=}+u^2v+uv^2\\
&\phantom{=}+u^2w+uw^2\\
&\phantom{=}+w^2u+wu^2\\
&=u^3+v^3+w^3\\
&\phantom{=}+u^2v+uv^2+uvw-uvw\\
&\phantom{=}+u^2w+uw^2+uvw-uvw\\
&\phantom{=}+w^2u+wu^2+uvw-uvw\\
&=u^3+v^3+w^3+(uv+vw+wv)(u+v+w)-3uvw,
\end{align}
więc
\begin{align}
u^3+v^3+w^3&=-a(a^2-2b)+ab+3c=-a^3+3ab-3c & (5)
\end{align}
Teraz taki mały trick: `x^3+ax^2+bx+c=cx^3(1/c +a/c*1/x+b/c*1/x^2+1/x^3)`, który pokazuje, że `1/u,1/v,1/w` są pierwiastkami wielomianu `t^3+b/c t^2+a/c t+1/c`. Zatem na mocy \(\displaystyle{ (5)}\)
\begin{align}
\frac1{u^3}+\frac1{v^3}+\frac1{w^3}=-\frac{b^3}{c^3}+3\frac{ab}{c^2}-\frac3c
\end{align}

Że co?, że `c` może być zerem? Na razie się tym nie przejmuję.
Dalej
\begin{align}u^3v^3+v^3w^3+w^3u^3&=(uvw)^3\left(\frac1{u^3}+\frac1{v^3}+\frac1{w^3}\right)\\
&=b^3-3abc+c^2\end{align}

A zatem szukany wielomian to
$$Q(x)=x^3+(a^3-3ab+3c)x^2+(b^3-3abc+c^2)x-c^3$$

No i jeszcze co z tym zerem?
Po prostu wezmę ciąg wielomianów \(\displaystyle{ W_n(x)=x^3+a_nx^2+b_nx+c_n}\), które zbiegają do pierwotnego wielomianu i nie maja pierwiastków zerowych. Wtedy odpowiednie wielomiany `Q_n` zbiegają do `Q` i koniec.