Matematyka.pl

Witam, czy mogę poprosić o pomoc z granica ciągu z definicji? Mam problem z pozbyciem się wartości bezwzględnej. Czy tutaj trzeba rozpisać dwa przypadki?
Z góry dzięki za pomoc

Yuriko1989 pisze: 7 lut 2025, o 13:54Czy tutaj trzeba rozpisać dwa przypadki?

Nie.

Zauważ, że dla ustalonego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) musisz wskazać \(\displaystyle{ n_0\in\NN}\) takie, że dla \(\displaystyle{ n\ge n_0}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ \frac{7}{|3-n|}<\varepsilon.}\) Możesz zatem szukać \(\displaystyle{ n_0}\) tylko wśród liczb większych od \(\displaystyle{ 3.}\)

JK

Chyba rozumiem... Czy teraz na zdjęciu jest ok?

Jest źle - na kartce po prawej stronie od samej góry. Dlaczego tak?

JK

Aj chyba rozumiem. A teraz?

Gorzej. Druga linijka jest bardzo nieprawdziwa. Choć ciąg dalszy pokazuje, że uważasz, iż ten zapis znaczy co innego, niż naprawdę znaczy.

I nie tędy droga - masz wskazać konkretne \(\displaystyle{ n_0.}\) Zauważasz, że interesują cię tylko \(\displaystyle{ n>3}\) i nierówność \(\displaystyle{ \frac{7}{|3-n|}<\varepsilon}\) przyjmuje wtedy postać \(\displaystyle{ \frac{7}{n-3}<\varepsilon,}\) czyli, równoważnie, \(\displaystyle{ n-3>\frac{7}{\varepsilon},}\) czyli \(\displaystyle{ n>3+\frac{7}{\varepsilon},}\) Wystarczy zatem wziąć \(\displaystyle{ n_0=4+\left[ \frac{7}{\varepsilon}\right] }\) i zauważyć, że wtedy wszystkich \(\displaystyle{ n\ge n_0}\) zachodzi warunek \(\displaystyle{ \frac{7}{|3-n|}<\varepsilon.}\)

JK