Matematyka.pl

Hej
Proszę mi wyjaśnić, jak się dowodzi tw. Neumanna o równaniu \(\displaystyle{ x-Tx=y}\), gdzie \(\displaystyle{ T\in B(X)}\) jest operatorem liniowym ograniczonym o normie mniejszej od jeden. Udowadniamy, że to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest to suma iteracyjni operatora \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}T^n x }\).

Musimy udowodnić, że \(\displaystyle{ I-T}\) to bijekcja. Dowód różnowartościowości ogarniam, udowadniamy, że jądro odwzorowania to wektor zerowy i wychodzi. Ale potem mamy udowodnić, że jest to surjekcja i tych sztuczek to ja nie rozumiem.
Szukamy \(\displaystyle{ y_0 \in X }\) takie że \(\displaystyle{ x-Tx=y_0}\) i definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \Phi:=y_0+Tx }\) i udowadniamy, że ona ma punkt stały. No dobrze ma, ale w jaki sposób to dowodzi, że \(\displaystyle{ I-Tx}\) jest surjekcją??

Nie znam się na analizie funkcjonalnej, ale dla dowodu surjektywności musisz raczej znaleźć \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że dla ustalonego wcześniej \(\displaystyle{ y_0}\) zachodzi \(\displaystyle{ x - Tx = y_0}\).

Co do drugiej części, załóżmy, że funkcja \(\displaystyle{ \Phi}\) ma punkt stały \(\displaystyle{ x_0}\). Wtedy \(\displaystyle{ y_0 + Tx_0 = x_0}\), czyli dosłownie \(\displaystyle{ x_0 - Tx_0 = y_0}\), a przecież o wskazanie właśnie takiego iksa nam chodziło.

Chodzi oczywiście o twierdzenie Neumanna, nie von Neumanna. Potrzeba też pewnych założeń: \(\displaystyle{ \|I - T\|< 1}\) implikuje (z tw. Neumanna) odwracalność (bijektywność) operatora \(\displaystyle{ T}\).
Dół storny 52 tutaj:
https://uwaterloo.ca/scholar/sites/ca.scholar/files/g6tran/files/amath731_lecture12.pdf