Matematyka.pl

\(\displaystyle{
\Large
{
T_{n}\left( \cos{\left( \theta\right) }\right) = \cos{\left( n\theta\right) }\\
x = \cos{\left( \theta\right)}\\
\cos{\left( n\theta\right) } = 0\\
n\theta = \frac{\pi}{2}+k\pi \qquad k\in\mathbb{Z}\\
n\theta = \frac{\pi}{2}+\left( k-1\right) \pi \qquad k\in\mathbb{Z}\\
n\theta = \frac{\left(2k-1\right)}{2}\pi \qquad k\in\mathbb{Z}\\
\theta = \frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}\qquad k\in\mathbb{Z}\\
\cos{\left( \theta\right)} = \cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }\qquad k\in\mathbb{Z}\\
x_{k} = \cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) } \qquad k=1,2,\ldots, n\\
T_{n}\left( x\right) = a \prod\limits_{k=1}^{n}{\left( x-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }\right) } \\
T_{n}\left( 1\right) = 1\\
a \prod\limits_{k=1}^{n}{\left( 1-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }\right) } = 1\\
a = \frac{1}{\prod\limits_{k=1}^{n}{\left( 1-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }\right) }}\\
a = \prod\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{1-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }}}\\
T_{n}\left( x\right) =\prod\limits_{k=1}^{n}{\frac{ x-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }}{ 1-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }}}
}
}\)

Teraz zadanie jest takie spróbujmy mając do dyspozycji postać iloczynową
obliczyć współczynnik wiodący wielomianów Czebyszowa dla \(\displaystyle{ n > 0}\)

(Dla biznesmenów Traczów - tak wiem że to będzie \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\)
tylko jak ten wynik otrzymać mając do dyspozycji jedynie postać iloczynową)

Oto do czego doszedłem

\(\displaystyle{
\Large
{
\prod\limits_{k=1}^{n}{\left(1-\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }\right)}\\
1 = \cos^2{\left( \theta\right) }+\sin^{2}{\left( \theta\right) }\\
\cos{\left( 2\theta\right) } = \cos^2{\left( \theta\right) }-\sin^{2}{\left( \theta\right) }\\
\prod\limits_{k=1}^{n}{\left( \left(\cos^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) } + \sin^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }\right) -\left(\cos^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) } -\sin^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }\right) \right) }\\
\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\prod\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{2}\cdot 4\sin^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{4\sin^2{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2\left(n-k+1\right)-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }\cdot 2\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\cdot 2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }\cos{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n} \right) }}\\
=\frac{1}{2^{n}}\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }}\\
}
}\)

Jak teraz pokazać że dla \(\displaystyle{ n>0}\)

\(\displaystyle{
\Large
{
\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n} \right) }} = 2
}
}\)

lub , że:

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} = \frac{2}{2^n} }\)

weźmy:

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{2n-1} \sin \frac{k\pi}{2n} = \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} \cdot \prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{2k\pi}{2n} = \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} \cdot \prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n}}\)

ale jest taki wzór, który nietrudno udowodnić choćby z Eulera, że:

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} }\)

reasumując to otrzymamy:

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{2n-1} \sin \frac{k\pi}{2n}= \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} \cdot \prod_{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi}{n}= \frac{2n}{2^{2n-1}} }\)

lub:

\(\displaystyle{ \frac{n}{2^{n-1}} \cdot \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n} =\frac{2n}{2^{2n-1}}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n}\sin \frac{(2k-1)\pi}{2n}= \frac{2}{2^n} }\)

cnd...

Ja próbowałem to pokazać korzystając tylko z liczb rzeczywistych
Tę dwójkę zostawiłem bo mogła się przydać do wzoru na sinus podwojonego kąta

Myślałem nad tym aby rozbić na dwa przypadki - dla n parzystych i dla n nieparzystych

\(\displaystyle{
\Large
{
\prod\limits_{k=1}^{n}{2\sin{\left(\frac{\left( 2k-1\right)\pi }{2n}\right)}}\\
n=2m+1\\
\prod\limits_{k=1}^{2m+1}{2\sin{\left(\frac{\left( 2k-1\right)\pi }{4m+2}\right)}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{2\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{2m+1}\right)}\cdot2\sin{\left(\frac{\pi}{2}+\frac{k\pi}{2m+1}\right)}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{2\cos{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right)}\cdot 2\cos{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right)}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{\frac{\sin{\left(\frac{2k\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) }}\cdot \frac{\sin{\left(\frac{2k\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) }}}\\
2\prod\limits_{k=1}^{m}{\frac{\sin{\left(\frac{2k\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) }}\cdot \frac{\sin{\left(\frac{\left(2m+1-2k\right)\pi}{2m+1}\right)}}{\sin{\left(\frac{\left(2m+1-k\right)\pi}{2m+1}\right) }}}\\
}
}\)

Gdybyśmy rozpisali ten iloczyn na czynniki to by
się one poskracały i dały jedynkę

Jednak na to jak pokazać tę równość dla parzystych n nie mam pomysłu
(przy założeniu że korzystamy tylko z liczb rzeczywistych)


A czy dałoby się jakoś udowodnić wzorek z którego skorzystałeś
używając tylko liczb rzeczywistych ?

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{n-1} \sin \frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} }\)

Gdyby pokazać tę równość korzystając tylko z liczb rzeczywistych to twój sposób
byłby nawet lepszy od mojego pomysłu

Jedyne co znam oprócz oczywiście używania liczb zespolonych co jest dość oczywiste jest ciekawy dowód:

tzn korzystasz z Tw. Kirchoffa o ilości drzew rozpinających w grafie.

Najpierw tworzysz macierz grafu, a dla Twego dowodu graf ten jest wielokątem o n wierzchołkach położonym na okręgu,
i dla tego grafu tworzysz macierz, która będzie miała ładny wygląd bo wierzchołki będą stopnia \(\displaystyle{ 2}\)

i korzystasz ze wzoru:

\(\displaystyle{ t(G)= \frac{\lambda_{1} \cdot \lambda_{2} \cdot ... \cdot \lambda_{n-1}}{n} }\)

wzór na liczbę drzew rozpinających lambdy to wartości własne tej macierzy...:
https://en.wikipedia.org/wiki/Kirchhoff%27s_theorem
one będą tymi wartościami te sinusy..., a bez macierzy oczywiście tych drzew rozpinających będzie \(\displaystyle{ n}\) i masz zadanie..

Tylko nie rozumiem czemu ci szkodzą zespolone??

Zawsze lubię miejsca gdzie dyskretna ociera się o analizę...

To jak by wyglądałby dowód tej równości z użyciem zespolonych ?

Co z moim pomysłem rozbicia n na parzyste i nieparzyste ?
Dla nieparzystych trzeba by jeszcze poukładać czynniki aby było widać że się skracają

Czy dla n parzystych nie da się tego iloczynu jakoś zwinąć do \(\displaystyle{ 2\sin{\left( \frac{\pi}{4} \right) } \cdot 2\sin{\left( \frac{\pi}{4} \right) }}\)

Kirchhoff kojarzył mi się z tymi prawami dotyczącymi prądów

Bo on taki i od prądów i od grafów bo taki graf wygląda jak przewody prądowe w domu

Tak w skrócie:

ze wzoru Eulera:

\(\displaystyle{ \sin x= \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} }\)

jak podstawisz do tego sinusa po skróceniu otrzymasz:

\(\displaystyle{ 2^{1-n} \prod_{k=1}^{n-1}\left( 1-\xi^k\right) }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \xi=e^{ \frac{2\pi i}{n} }}\)

są to pierwiastki z jedynki jak widać na załączonym obrazku...

\(\displaystyle{ x^n-1=(x-1) \sum_{k=0}^{n-1} x^k=(x-1) \prod_{k=1}^{n-1} \left( x-\xi^k\right) /:(x-1) }\)

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1} \left( x-\xi^k\right) = \sum_{k=0}^{n-1} x^k}\)

\(\displaystyle{ x=1}\)

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n-1} \left( 1-\xi^k\right) =n}\)

Tylko nie rozumiem czemu ci szkodzą zespolone??

Wielomiany masz w szkole średniej
Trygonometrię masz w szkole średniej
ale zespolonych już nie masz
Oczywiście nawet w podstawówkach znajdują się takie okazy jak Vax
ale jest ich niewiele tak samo jak i niewiele jest takich którym można by
zasłużenie postawić niedostateczną
Wobec powyższego chciałem wyprowadzić ten wzór w sposób zrozumiały
nawet dla licealisty
Licealiście trzeba by co najmniej semestr poświęcić aby wytłumaczyć zespolone

Dla nieparzystych n coś tam uzyskałem bawiąc się wzorami redukcyjnymi
i przekształcając wzór na sinus podwojonego kąta
Pozostaje przypadek dla parzystych n

Dla nieparzystych n zauważyłem że jeden czynnik to \(\displaystyle{ 2\sin{\left( \frac{\pi}{2} \right) }}\)
pozostałe zaś da się połączyć w pary a następnie korzystając ze wzorów redukcyjnych zamienić na cosinusy
Przekształcając wzór na sinus podwojonego kąta można zamienić cosinusy na sinusy a następnie
korzystając ze wzoru redukcyjnego \(\displaystyle{ \sin{\left(x\right)}=\sin{\left( \pi-x\right) }}\)
można pokazać że po rozwinięciu iloczynu w liczniku będą te same czynniki co w mianowniku
z dokładnością do kolejności czynników (a jak wiemy dla liczb rzeczywistych mnożenie jest przemienne)


Jednak na to jak policzyć ten iloczyn dla parzystych n

Wobec powyższego chciałem wyprowadzić ten wzór w sposób zrozumiały
nawet dla licealisty
Licealiście trzeba by co najmniej semestr poświęcić aby wytłumaczyć zespolone

ciekawe masz sentymenty dla liceum , jednak z moich spostrzeżeń niektórzy licealiści mają problem z ułamkami
więc mam obawy, że Twój wysiłek idzie na marne...