Matematyka.pl

Na ile sposobów można podzielić \(\displaystyle{ 2023}\) osoby na \(\displaystyle{ 3 }\) niepuste
grupy, jeśli
a) grupy są ponumerowane?
b) grupy nie są ponumerowane?

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Chociaż jak tak teraz myślę to ten podpunkt a) można chyba zrobić tak, proszę o sprawdzenie:
Bierzemy pierwszą osobę, ona można wybrać grupę na trzy sposoby, następnie druga też na trzy itd. Stąd wszystkich rozstawień jest \(\displaystyle{ 3^{2023}}\), w tym niektóre grupy mogą być puste. Od wszystkich możliwości trzeba odjąć te w których dwie grupy są pusty, czyli wszyscy idą do jednej grupy i takich możliwości mamy \(\displaystyle{ 3}\), bo są trzy grupy. Podobnie trzeba też odjąć możliwości, gdzie tylko jedna grupa jest pusta, czyli wszyscy idą do dwóch grup. Takich możliwości mamy \(\displaystyle{ 3\cdot (2^{2023}-2)}\), bo najpierw wybieramy na trzy sposoby grupę, która ma być pusta, a potem do pozostałych dwóch grup ustawiamy wszystkie osoby. Każda osoba ma do wyboru 2 grupy, stąd liczba takich ustawień to \(\displaystyle{ 2^{2023}}\) i od tego trzeba jeszcze odjąć te możliwości, gdzie wszystkie osoby poszły do jednej grupy. Zatem rozwiązanie a) to \(\displaystyle{ 3^{2023}-3-3\cdot (2^{2023}-2)}\).

Dobrze?

A jak zrobić to b)?

z automatu:
a) zasada włączeń i wyłączeń
\(\displaystyle{ 3^{2023}- {3 \choose 2} 2^{2023}+{3 \choose 1} 1^{2023}}\)
b) liczba Stirlinga 2 rodzaju
\(\displaystyle{ S_2(2023,3)}\)