Matematyka.pl

Paradoks kłamcy w to np. "to zdanie jest fałszywe" lub "ja teraz kłamię". W podobnym typie sa inne zdania samozwrotne typu "golarz goli tych i tylko tych, którzy się sami nie golą; czy goli siebie?"
Przeanalizujmy zdanie "to zdanie jest fałszywe"
Jeśli jest prawdziwe to jest fałszywe, a jeśli fałszywe to prawdziwe.

A zdanie "to zdanie jest prawdziwe" ?
Okazuje się że nie jest koniecznie prawdziwe. Może równie dobrze być fałszywe jak i prawdziwe.

Wprowadźmy logikę czterowartościową, gdzie zamiast False i True będą zbiory tych wartości, może być samo False i True, jak i ani to ani to, czyli zbiór pusty, jak i zbiór złożony z False i True.
Mamy logikę z {{},{False},{True},{False,True}}
oznaczmy: {0,F,T,FT}

Negacja:

Kod: Zaznacz cały

F: T
T: F
0: FT
FT: 0

dwie ostatnie nowe wartości wynikają z tego że widzimy że zanegowanie pierwszego zdania "to zdanie jest fałszywe" dało nam "to zdanie jest prawdziwe"

Tworząc tabelkę, załóżmy najpierw
- gdy mamy operandy jedynie {False} lub {True}, działamy jak w standardowej logice dla False i True
- operacja AND jest przemienna
- podobnie dla OR

"pierwsza część zdania jest fałszywa a poza tym 2+2=4"
jest 0

"pierwsza część zdania jest fałszywa a poza tym 2+2=5"
jest False, bo w obu przypadkach False

"pierwsza część zdania jest fałszywa lub 2+2=4"
jest True, bo w obu przypadkach True

"pierwsza część zdania jest fałszywa lub 2+2=5"
jest 0

"pierwsza część zdania jest prawdziwa a poza tym 2+2=4"
jest FT

"pierwsza część zdania jest prawdziwa a poza tym 2+2=5"
jest False, bo w obu przypadkach False

"pierwsza część zdania jest prawdziwa lub 2+2=4"
jest True, bo w obu przypadkach True

"pierwsza część zdania jest prawdziwa lub 2+2=5"
jest FT

Mamy tabelki
AND

Kod: Zaznacz cały

\  0 F  T  FT
0    F  0
F  F F  F  F   
T  0 F  T  FT
FT   F  FT

OR

Kod: Zaznacz cały

\  0  F T FT
0     0 T
F  0  F T FT    
T  T  T T T
FT   FT T

do zrobienia
- AND i OR dwóch zdań paradoksalnych, uzupełnić tabelkę tam gdzie są spacje
- tabelka implikacji
- analiza zdań typu "całe zdanie jest prawdziwe i 2+2=5"

Uzupełniłem przy pomocy Google Gemini
AND

Kod: Zaznacz cały

    |  0  |  F  |  T  |  FT
-----------------------------
| 0 |  0  |  F  |  0  |  0 
| F |  F  |  F  |  F  |  F
| T |  0  |  F  |  T  |  FT
| FT|  0  |  F  |  FT |  FT

OR

Kod: Zaznacz cały

    |  0  |  F  |  T  |  FT
-----------------------------
| 0 |  0  |  0  |  T  |  0  |
| F |  0  |  F  |  T  |  FT |
| T |  T  |  T  |  T  |  T  |
| FT|  0  |  FT |  T  |  FT |

Tabelka Implikacji (IMPLIES):

Standardowo implikację A IMPLIES B definiuje się jako NOT A OR B. Zastosujmy tę definicję do naszych tabelek NOT i OR:

Kod: Zaznacz cały

| A   | B   | NOT A | NOT A OR B | A IMPLIES B
-----------------------------------------------
| 0   | 0   | FT    | FT OR 0 = 0 | 0 
| 0   | F   | FT    | FT OR F = FT| FT 
| 0   | T   | FT    | FT OR T = T | T 
| 0   | FT  | FT    | FT OR FT= FT| FT 
| F   | 0   | T     | T OR 0 = T  | T 
| F   | F   | T     | T OR F = T  | T 
| F   | T   | T     | T OR T = T  | T 
| F   | FT  | T     | T OR FT = T | T 
| T   | 0   | F     | F OR 0 = 0  | 0 
| T   | F   | F     | F OR F = F  | F 
| T   | T   | F     | F OR T = T  | T 
| T   | FT  | F     | F OR FT = FT| FT 
| FT  | 0   | 0     | 0 OR 0 = 0  | 0 
| FT  | F   | 0     | 0 OR F = 0  | 0 
| FT  | T   | 0     | 0 OR T = T  | T 
| FT  | FT  | 0     | 0 OR FT = 0 | 0

Tabelka IMPLIES:

Kod: Zaznacz cały

    |  0  |  F  |  T  |  FT
----------------------------------
| 0 |  0  |  FT |  T  |  FT 
| F |  T  |  T  |  T  |  T  
| T |  0  |  F  |  T  |  FT 
|FT |  0  |  0  |  T  |  0

Analiza zdania "całe zdanie jest prawdziwe i 2+2=5":

Oznaczmy całe zdanie przez S. Ma ono postać: S: P AND Q, gdzie P to stwierdzenie "S jest prawdziwe", a Q to "2+2=5".

Wiemy, że Value(Q) = F.
Zdanie P ("S jest prawdziwe") samo w sobie jest podobne do zdania "to zdanie jest prawdziwe", któremu przypisaliśmy wartość FT. Jednak tutaj P odnosi się do całości S = P AND Q.
Szukamy wartości logicznej X = Value(S) takiej, że jest ona spójna z definicją S. Czyli X musi być wynikiem operacji Value(P) AND Value(Q), gdzie Value(P) jest związane z X.

Rozważmy możliwości dla X:

Jeśli X = T: Wtedy P ("S jest prawdziwe") byłoby T. S = P AND Q stałoby się T AND F. Zgodnie z tabelką AND, T AND F = F. Otrzymujemy X = F, co jest sprzeczne z założeniem X = T.
Jeśli X = F: Wtedy P ("S jest prawdziwe") byłoby F. S = P AND Q stałoby się F AND F. Zgodnie z tabelką AND, F AND F = F. Otrzymujemy X = F, co jest spójne z założeniem X = F.
Jeśli X = 0: Wtedy P ("S jest prawdziwe") odnosiłoby się do zdania o wartości 0. Jaką wartość ma stwierdzenie "to zdanie (o wartości 0) jest prawdziwe"? Jest to problematyczne, ale jeśli zinterpretujemy "S jest prawdziwe" jako próbę przypisania prawdy, a S ma wartość 0 (ani prawda, ani fałsz), to P jest fałszywe (F). Wtedy S = P AND Q staje się F AND F = F. Otrzymujemy X = F, co jest sprzeczne z założeniem X = 0.
Jeśli X = FT: Wtedy P ("S jest prawdziwe") odnosiłoby się do zdania o wartości FT. Stwierdzenie "to zdanie (o wartości FT) jest prawdziwe" można interpretować jako FT (bo może być prawdziwe). Wtedy S = P AND Q staje się FT AND F. Zgodnie z tabelką AND, FT AND F = F. Otrzymujemy X = F, co jest sprzeczne z założeniem X = FT.

Jedyną spójną możliwością jest X = F. Zatem, w ramach tej logiki (jak i w logice klasycznej), zdanie "całe zdanie jest prawdziwe i 2+2=5" ma wartość Fałsz (F). Człon "2+2=5", który jest fałszywy, dominuje w koniunkcji i wymusza fałszywość całego zdania, niezależnie od samozwrotnego charakteru pierwszej części.

Matematyka.pl

Logika paradoksu

Logika paradoksu

Re: Logika paradoksu