Wykazać, ze funkcja ma co najmniej n miejsc zerowych

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Alik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 29 wrz 2005, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: War(saw)
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 2 razy

Wykazać, ze funkcja ma co najmniej n miejsc zerowych

Post autor: Alik » 24 paź 2007, o 23:11

Nie mam pomysłu na przeprowadzenie dowodu: Niech \(\displaystyle{ a_{0}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

Wykazać, ze funkcja ma co najmniej n miejsc zerowych

Post autor: andkom » 25 paź 2007, o 07:33

Oznaczmy naszą funkcję przez f.
Pomysł jest taki: dla każdego i=1,2,...,n mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to a_i^-}f(x)=-\infty\\
\lim_{x\to a_i^+}f(x)=+\infty}\)

Poza tym nasza funkcja jest ciągła na przedziałach \(\displaystyle{ (a_0,a_1),\ (a_1,a_2),\ (a_2,a_3),\ldots,(a_{n-1},a_n)}\).
Zatem w każdym z tych przedziałów ma co najmniej jedno miejsce zerowe, czyli łącznie miejsc zerowych jest co najmniej n (można pokazać, że jest ich dokładnie n).

Alik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 29 wrz 2005, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: War(saw)
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 2 razy

Wykazać, ze funkcja ma co najmniej n miejsc zerowych

Post autor: Alik » 26 paź 2007, o 21:50

Dzięki, bardzo podoba mi się twój dowód. Jest znacznie lepszy od moich prób.

ODPOWIEDZ