Matematyka.pl

Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wyrzuconych oczek za pierwszym oraz drugim rzutem jest mniejsza niż liczba oczek wyrzucona za trzecim rzutem.

1. Jak zapisać zdarzenie sprzyjające formalnie bez wypisywania wszystkich przypadków na piechotę?

2. Czy poprawny wynik to \(\displaystyle{ \frac{5}{54}}\)?

Rzucamy trzykrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry.

Zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia losowego:

\(\displaystyle{ \Omega = \{\omega: \omega = f: \{1,2,3,4,5,6\} \rightarrow \{1,2,3\}\}. }\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = 6^3= 216}\)

\(\displaystyle{ Z }\) - zdarzenie - " suma wyrzuconych oczek za pierwszym oraz drugim rzutem jest mniejsza niż liczba oczek wyrzucona za trzecim rzutem."

\(\displaystyle{ Z = \{\omega: \omega = f : \{1,2,3,4,5,6\} \rightarrow \{1+2<3\}\} }\)

\(\displaystyle{ |Z| = 20. }\)

\(\displaystyle{ P(Z) = \frac{|Z|}{|\Omega|} = \frac{20}{216} = \frac{5}{54}.}\)


Rzucając trzykrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry, możemy oczekiwać, że w ponad \(\displaystyle{ 9\% }\) ogólnej liczby rzutów - suma wyrzuconych oczek za pierwszym oraz drugim rzutem będzie mniejsza od liczby oczek wyrzuconej za trzecim rzutem.

janusz47 pisze: 5 sty 2025, o 20:57

\(\displaystyle{ Z = \{\omega: \omega = f : \{1,2,3,4,5,6\} \rightarrow \{\red{1+2<3}\}\} }\)

Nóż się w kieszeni otwiera

Żeby Cię nie ranił.

\(\displaystyle{ Z = \{\omega: \omega = f : \{1,2,3,4,5,6\}\rightarrow \{i, j, k\} \wedge i +j <k \wedge \{i,j,k\}\in \{1,2,3,4,5,6\}\}}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
Wynik \ \ pierwszego \ \ i \ \ drugiego \ \ rzutu & Suma \ \ oczek & Możliwe \ \ oczka \ \ trzeciego \ \ rzutu & Ilość \ \ oczek \ \ w \ \ trzecim \ \ rzucie \\ \hline
(1, 1) & 2 & 3,4,5,6 & 4 \\ \hline
(1, 2) & 3 & 4, 5, 6 &3 \\ \hline
(1, 3) & 4 & 5, 6 & 2 \\ \hline
(1, 4) & 5 & 6 & 1 \\ \hline
(2, 1) & 3 & 4,5,6 & 3 \\ \hline
(2, 2) & 4 & 5, 6 & 2 \\ \hline
(2, 3) & 5 & 6 & 1 \\ \hline
(3, 1) & 4 & 5,6 & 2 \\ \hline
(3, 2) & 5 & 6 & 1 \\ \hline
(4, 1) & 5 & 6 & 1 \\ \hline
Razem & & & 20 \\ \hline
\end{array} }\)

Dziękuję za odpowiedź.

Nie dziękuj, bo za takie "rozwiązanie" dostaniesz pałę.

janusz47 pisze: 5 sty 2025, o 20:57

\(\displaystyle{ \Omega = \{\omega: \omega = f: \{1,2,3,4,5,6\} \rightarrow \{1,2,3\}\}. }\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = 6^3= 216}\)

Taki zapis oznacza, że \(\displaystyle{ \Omega}\) to zbiór wszystkich funkcji ze zbioru sześcioelementowego w zbiór trzyelementowy. A takich funkcji jest \(\displaystyle{ 3^6=729}\).

Ciebie zaś interesuje zbiór trójek uporządkowanych \(\displaystyle{ (l_1,l_2, l_3)}\), gdzie \(\displaystyle{ l_i}\) oznacza wynik \(\displaystyle{ i}\)-tego losowania. Takich trójek jest rzeczywiście \(\displaystyle{ 6^3}\).Dalej rachunek jest poprawny (ilość trójek spełniających \(\displaystyle{ l_1+l_2<l_3}\)), ale za opis przestrzeni zdarzeń elementarnych dwója z minusem.

janusz47 pisze: 6 sty 2025, o 14:14
\(\displaystyle{ Z = \{\omega: \omega = f : \{1,2,3,4,5,6\}\rightarrow \{i, j, k\} \wedge i +j <k \wedge \{i,j,k\}\in \{1,2,3,4,5,6\}\}}\)

Gwoli ścisłości ten zapis też jest do luftu, bo w omedze masz funkcje przyjmujące wartości \(\displaystyle{ 1,2,3}\) a w zbiorze zdarzeń sprzyjających te wartości mogą być np \(\displaystyle{ 2,2,5}\) albo \(\displaystyle{ 5,2,2}\) (w zbiorze kolejność elementów nie ma znaczenia.

Korekta


Rzucamy trzykrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry.

Zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia losowego:

\(\displaystyle{ \Omega = \{\omega: \omega = f: \{1,2,3,\} \rightarrow \{1,2,3,4,5,6\}\}. }\)

\(\displaystyle{ |\Omega| = 6^3= 216}\)


\(\displaystyle{ Z }\) - zdarzenie - " suma wyrzuconych oczek za pierwszym oraz drugim rzutem jest mniejsza niż liczba oczek wyrzucona za trzecim rzutem."

\(\displaystyle{ Z = \{\omega: \omega = f : (i, j, k) \rightarrow \{ 1,2,3,4,5,6\} \wedge (i +j < k) \wedge (i, j,k)\in \{1,2,3,4,5,6 \}\} }\)

\(\displaystyle{ |Z| = 20. }\)

\(\displaystyle{ P(Z) = \frac{|Z|}{|\Omega|} = \frac{20}{216} = \frac{5}{54}.}\)


Rzucając trzykrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry, możemy oczekiwać, że w ponad \(\displaystyle{ 9\% }\) ogólnej liczby rzutów - suma wyrzuconych oczek za pierwszym oraz drugim rzutem będzie mniejsza od liczby oczek wyrzuconej za trzecim rzutem.

No i też do luftu, bo elementy `\Omega` to funkcje ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3\} }\) a element `Z` to np funkcja przypisująca trójce `(2,3,6)` pewną liczbę ze zbioru sześcioelementowego.

A można po prostu napisać \(\displaystyle{ \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^3, Z=\{(i,j,k)\in \{1,2,3,4,5,6\}^3: i+j<k\}...}\)

JK