Matematyka.pl

Mam przykłady takich oto macierzy:

\[
A_1 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 0 & 4 & 5 \\
0 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\]

\[
A_2 = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 14 \\
0 & 0 & 4 & 9 \\
0 & 2 & 3 & 8 \\
0 & 1 & 2 & 7
\end{pmatrix}
\]

Dla takich macierzy
\(\displaystyle{ \det(A_1)=0}\)
oraz
\(\displaystyle{ \det(A_2)=0}\)

Jak mogę obliczyć czy w danej macierzy zachowana jest kolejna sekwencja liczb, zaczynając od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ n_{\max}}\) (\(\displaystyle{ n_{\max}}\) - największa występująca liczba w danej macierzy ), gdzie każda kolejna liczba jest większa o \(\displaystyle{ +1.}\)
Nie chodzi mi o utworzenie algorytmu do przeglądania kolejno liczb z macierzy, usuwaniu duplikatów, następnie sortowaniu ich, gdzie na końcu zostaną kolejno wykazane brakujące w ciągu liczby.

Zastanawiam się tylko czy jest taki np. "wyznacznik" macierzy, który informuje nas o tym, że ze zbioru liczb występujących w macierzy, nie można utworzyć rosnącej sekwencji liczb, gdzie każda kolejna jest większa o \(\displaystyle{ +1.}\)

Na marginesie tego:
W macierzy \(\displaystyle{ A_2}\) nie występują liczby: \(\displaystyle{ 5,6,10,11,12,13,}\) a macierz \(\displaystyle{ A_1}\) posiada wszystkie kolejne liczby z zakresu od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 6.}\)

Jak mogę obliczyć czy w danej macierzy zachowana jest kolejna sekwencja liczb ?

A co to znaczy ?

W odpowiedzi, to interesuje mnie pewne rozwiązanie, funkcja \[\Phi(A_n) \], zdefiniowana w postaci:

\[
\Phi(A_n) =
\begin{cases}
1, & \text{jeżeli } \{0,1,\ldots,n_{\max}\} \subseteq \{\,a_{ij}:a_{ij}\in A_n\}, \\[6pt]
0, & \text{w przeciwnym wypadku}.
\end{cases}
\]
Interpretacja jest nastepujaca:
\[
\Phi(A_n) = 1
\quad \Longleftrightarrow \quad
\text{kazda liczba z przedziału } [0,n_{\max}] \text{ wystepuje w macierzy } A_n.
\]