Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ n}\) tego stopnia \(\displaystyle{ P}\) ma wartości całkowite dla \(\displaystyle{ x=0, 1, 2,..., n}\), to \(\displaystyle{ P}\) ma też wartości całkowite dla wszystkich liczb całkowitych \(\displaystyle{ x}\).

Wielomian \(\displaystyle{ P(x) }\) możemy zapisać tak:

\(\displaystyle{ w(x)=x(x-1)(x-2)...(x-n)}\)

\(\displaystyle{ P(x)= \sum_{i=0}^{n} \frac{w(x)}{x-i}a_{i} }\)

\(\displaystyle{ P(0)=(-1)^n \cdot 0! \cdot n! \cdot a_{0}}\)

\(\displaystyle{ P(1)=(-1)^{n-1} \cdot 1! \cdot (n-1)! \cdot a_{1}}\)

\(\displaystyle{ P(2)=(-1)^{n-2} \cdot 2! \cdot (n-2)! \cdot a_{2}}\)

\(\displaystyle{ P(3)=(-1)^{n-3} \cdot 3! \cdot (n-3)! \cdot a_{3}}\)

........................................................................................................

\(\displaystyle{ P(i)=(-1)^{n-i} \cdot i! \cdot (n-i)! \cdot a_{i}}\)

.........................................................................................................

\(\displaystyle{ P(n)=(-1)^{0} \cdot n! \cdot 0! \cdot a_{n}}\)

każde: \(\displaystyle{ P(i) , i=0, 1, 2,..., n}\) jest całkowite z tego wynika, że każde \(\displaystyle{ a_{i}}\) może być co najwyżej ułamkiem nieskracalnym...

jeżeli teraz weźmiemy dowolne \(\displaystyle{ k }\)- całkowite \(\displaystyle{ |k|>n}\)

to:

\(\displaystyle{ P(k)= \sum_{i=0}^{n} \frac{k(k-1)(k-2)...(k-n)}{k-i} a_{i}}\)

poszczególne składniki powyższej sumy wyglądają tak:

\(\displaystyle{ k(k-1)(k-2)...(k-i+1)[.] (k-i-1)...(k-n) \cdot a_{i}=A_{i} \cdot B_{i} \cdot a_{i}}\)

łatwo zauważyć, że:

\(\displaystyle{ i! | A_{i} , (n-i)! | B_{i}}\)

znaczy że:

\(\displaystyle{ A_{i} \cdot B_{i} \cdot a_{i}=C \cdot i! \cdot (n-i)! \cdot a_{i}}\)

prawa strona jest całkowita, więc i lewa, też a co za tym idzie:

\(\displaystyle{ P(k)}\) - jest całkowite dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitych...

cnd...

Jeśli \(\displaystyle{ (\Delta f)(x) = f(x) - f(x-1)}\), to \(\displaystyle{ \deg( \Delta Q ) = \deg(Q) - 1}\) dla każdego niezerowego wielomianu \(\displaystyle{ Q}\) (przyjmując że stopień wielomianu zerowego to \(\displaystyle{ -1}\)). W szczególności \(\displaystyle{ \Delta^{n+1} P = 0}\). Stąd i ze wzoru dwumianowego dostajemy

\(\displaystyle{ 0 = \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^k P(x-k)}\).

Przenosząc \(\displaystyle{ P(x)}\) na jedną stronę a wszystko inne na drugą dostajemy

\(\displaystyle{ P(x) = -\sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^k P(x-k)}\),

więc z całkowitości \(\displaystyle{ P(0), \ldots, P(n)}\) wynika całkowitość \(\displaystyle{ P(n+1), P(n+2), \ldots}\). Z drugiej strony przenosząc \(\displaystyle{ P(x-n-1)}\) na jedną stronę a wszystko inne na drugą mamy

\(\displaystyle{ P(x-n-1) = - \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k} (-1)^{n+1-k} P(x-k)}\),

czyli wszystkie wartości \(\displaystyle{ P(-1), P(-2), P(-3), \ldots}\) też są całkowite.