Matematyka.pl

Udowodnić, że pole rzutu sześcianu o boku 1 na płaszczyznę nie jest większe od \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) .

Problem dotyczy chyba rzutowania prostokątnego...
Przekrojem sześcianu o największym polu, równym \(\frac{(a\sqrt2)^2\sqrt3}{4}\), jest trójkąt równoboczny o boku - przekątnej ściany sześcianu. Jeśli rzutujemy prostokątnie na płaszczyznę równoległą do tego trójkąta - otrzymamy rzut o największym polu...

Pozdrawiam

Ale to jest stwierdzenie, aż nie dowód.
Wydaje mi się, że większe pole może mieć sześciokąt foremny

A nawet największe , wystarczy go podzielić na równoległoboki..., co drugi wierzchołek połączyć i powstanie trójkąt, którego pole jest połową pola sześciokąta...a o trójkącie który jest rzutem trójkąta napisał JHN to tak z grubsza...

Rysunek do mojego poprzedniego postu: Sześciokąt rzutu jest środkowosymetryczny, zatem
\[S_{A_1'A'D'C'C_1'B_1'}=2\cdot S_{A'C'B_1'}\le2\cdot S_{ACB_1}=2\cdot\frac{(a\sqrt2)^2\sqrt3}{4}=a^2\sqrt3\]
i równość zachodzi dla równoległości płaszczyzn \(\Delta ACB_1\) i rzutni.

Pozdrawiam
PS. Rzeczywiście, wśród przekrojów sześcianu, omawiany przeze mnie trójkąt nie ma największego pola, ale generuje największe pole rzutu sześcianu.

[edited] uzupełnienie