Matematyka.pl

Udowodnić, że licznik nieskracalnego ułamka \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ p}\), o ile \(\displaystyle{ p>3}\) jest liczbą pierwszą.

Przypuszczam, że należy w pierwszej kolejności udowodnić, w tym celu hipotezę Goldbacha, tj. każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Tutaj akurat mamy sumę odwrotności dla tej hipotezy.

Akurat teza lub antyteza a nawet synteza Maybacha, Bajbacha jest tu zupełnie zbędna...

popatrzmy na te sumę inaczej:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} = \frac{a}{b} }\)

na pewno:

\(\displaystyle{ p}\) nie dzieli \(\displaystyle{ b}\) czyli mianownika...

trzeba udowodnić, że:

\(\displaystyle{ ab^{-1}=0 \mod p}\)

zauważmy , że:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k^2} = \sum_{k=1}^{p-1}\left( k^{-1}\right)^2 = \sum_{k=1}^{p-1} k^2}\)

bo tak czy siak jest to tylko permutacja reszt kwadratowych w ciele \(\displaystyle{ \ZZ_{p}}\)...

a:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{p-1} k^2=6^{-1} \cdot (p-1) \cdot p \cdot (2p-1) =0 \mod p}\)

jak widać suma ta jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\)

co kończy dowód, założenie, że \(\displaystyle{ p>3}\) ma sens bo wtedy bym nie mógł zastosować wzoru na sumę kwadratów...

zobaczmy jak sprawa wygląda w ciele: \(\displaystyle{ Z_{3}}\)

\(\displaystyle{ 1^2+2^2=2 \mod 3}\)

więc jak widać w tym ciele to nie działa...

cnd...

cd...

Wykaż, że:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{p-1} \frac{1}{n} =0 \mod p^2 , p>3}\)

To akurat jest proste. Niech \(\displaystyle{ H_n = \sum_{k-1}^n \frac 1 n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę harmoniczną.

Jeśli \(\displaystyle{ p \neq 2}\), to \(\displaystyle{ p \mid H_{p-1}}\) (wynik Babbage'a).

Jeśli \(\displaystyle{ p > 3}\), to \(\displaystyle{ p^2 \mid H_{p-1}}\) (wynik Wolstenholme'a).

Dalej jest już gorzej, bo znane są tylko dwie liczby \(\displaystyle{ p}\) takie, że \(\displaystyle{ p^3 \mid H_{p-1}}\): 6 843 i 2 124 679.

liczba \(\displaystyle{ 6843}\) nie jest pierwsza. Jak widać dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).

To jeżeli masz siłę i chęć to proponuję coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{2^1}{1^2} +\frac{2^2}{2^2} +\frac{2^3}{3^2} +...+\frac{2^{p-1}}{(p-1)^2}=-\left( \frac{2^{p-1}-1}{p} \right)^2 \mod p }\)

To zadanie już tu na forum gdzieś funkcjonuje ale wznawiam ja ze swojej strony rozpisałem jak na razie stronę prawą...

Brombal pisze: 28 sty 2025, o 11:18 liczba \(\displaystyle{ 6843}\) nie jest pierwsza. Jak widać dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).

Masz totalnie rację, ale \(\displaystyle{ 16\, 843}\) jest (i o tę liczbę mi chodziło - literówka się wkradła).