Matematyka.pl

Rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \log^2 (x)=\log^2(y)+ \log^2 (xy) \\ \log^2(x-y) + \log(x) \log(y)=0 . \end{cases}}\)

Z pierwszego równania:
\(\displaystyle{ \log^2(x)-\log^2(y)=\log^2 (xy)\\
\log(xy)\log(x/y)=\log^2(xy)
}\)
Przypadek 1: \(\displaystyle{ \log(xy)\ne 0}\)
\(\displaystyle{ \log( x/y)=\log(xy)\\
1/y=y\\
y=1}\)
Wstawiając to do drugiego równania dostajemy
\(\displaystyle{ \log^2(x-1)=0,\\
x=2}\)
Para \(\displaystyle{ (x,y)=(2,1)}\) jest rozwiązaniem.

Przypadek 2 \(\displaystyle{ \log(xy)= 0}\)
Stąd \(\displaystyle{ x=1/y}\)
Wstawiając do drugiego równania dostajemy
\(\displaystyle{ \log^2(x-1/x)-\log^2(x)=0\\
[\log(x-1/x)+\log(x)][\log(x-1/x)-\log(x)]=0}\)
Drugi nawias nigdy się nie zeruje, a pierwszy znika w \(\displaystyle{ x=\sqrt2}\), co daje rozwiązanie \(\displaystyle{ (x,y)=(\sqrt 2,\sqrt{1/2})}\)