Matematyka.pl

Liczby \(\displaystyle{ a, b, c }\) różne od \(\displaystyle{ 0}\) są całkowite i \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3= 2}\). Jaka jest najmniejsza możliwa wartość \(\displaystyle{ |a+b+c| }\)

\(\displaystyle{ a=- \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } }\)
\(\displaystyle{ b=- \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } }\)
\(\displaystyle{ c=\frac{2}{ \sqrt[3]{3} } }\)
Czyli \(\displaystyle{ 0}\)

Dodano po 4 minutach 41 sekundach:

Brombal pisze: 27 gru 2024, o 18:23 \(\displaystyle{ a=- \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } }\)
\(\displaystyle{ b=- \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } }\)
\(\displaystyle{ c=\frac{2}{ \sqrt[3]{3} } }\)
Czyli \(\displaystyle{ 0}\)

Nie zauważyłem warunku całkowitości

Dodano po 46 minutach 35 sekundach:
Najmniejsze jakie znalazłem siłowo to
\(\displaystyle{ a=-5}\), \(\displaystyle{ b=-6}\), \(\displaystyle{ c=7}\), \(\displaystyle{ \left| a+b+c\right|=4 }\)

Tożsamość \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3- 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab-ac-bc)}\) uniemożliwia by \(\displaystyle{ a+b+c = \pm 3}\)...

Suma sześcianów jest liczbą parzystą czyli sama suma jest również liczbą parzystą. Czyli suma nie jest liczbą nieparzystą.

Czy suma ta może być równa \(\displaystyle{ \pm 2}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ \left| a+b+c \right| \ge 0 }\);

1) Załóżmy, że \(\displaystyle{ \left| a+b+c \right| = 0 }\)

Wtedy z równania \(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) }\) Mielibyśmy, że
\(\displaystyle{ a^{3} +b^{3}+c^{3} = 3abc }\), tj. \(\displaystyle{ 2 = 3abc }\)

Co w związku z założeniem, że \(\displaystyle{ a, b, c }\) są całkowite jest niemożliwe, ponieważ prawa strona jest podzielna przez 3, a lewa nie.

2) załóżmy, że \(\displaystyle{ \left| a + b + c \right| = 1 }\).

Wtedy \(\displaystyle{ \pm 1 = (a+b+c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3(a+b)(b+c)(c+a) = 2 + 3(a+b)(b+c)(c+a) }\) tj.
\(\displaystyle{ \mp 1 = 3(a+b)(b+c)(c+a) }\).

Znowu, prawa strona jest podzielna przez 3, lewa strona nie jest, co uniemożliwia równość.

3) dla np. \(\displaystyle{ a = b = 1 }\) oraz \(\displaystyle{ c = 0 }\) mamy równość oraz \(\displaystyle{ \left| a + b + c \right| = 2 }\)

W związku z tym najmniejsza możliwa wartość wynosi 2.

Ale te liczby są różne od zera: \(\displaystyle{ abc \ne 0}\)

To j/w, kolejny przypadek dla \(\displaystyle{ \left| a+b+c \right| = 3 }\) odpada ze względu na równość
\(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) }\)
Pozostaje, również j/w \(\displaystyle{ \left| a+b+c\right| = 4 }\), dla liczb wspomnianych przez Brombala.

no i przypadek \(\displaystyle{ \pm 2}\) można użyć \(\displaystyle{ (a+b+c)^3 -(a^3+b^3+c^3)=3 (a+b)(b+c)(a+c)}\) ; być może ...

\(\displaystyle{ -2}\) nie może być rozwiązaniem
dla \(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{3}-2=3\left( a+b\right)\left( a+c\right)\left( b+c\right) }\)
\(\displaystyle{ \left( a+b\right)\left( a+c\right)\left( b+c\right) =2}\)
Jedyne rozwiązanie to \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ 1}\)
Nie spełnia warunków zadania
Czyli \(\displaystyle{ 4}\) to minimum