Matematyka.pl

Udowodnić, że jesli \(\displaystyle{ S_m = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^m} }\) to \(\displaystyle{ \sum_{m=2}^{\infty} S_m = 1}\) i \(\displaystyle{ \sum_{m=1}^{\infty} S_{2m} = \frac{3}{4} }\).

Ciąg sum częściowych w pierwszym wyjdzie bo zamiast z lewej do prawej sumujemy z góry na dół...:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} +...+ \frac{1}{(n-1) \cdot n} =1- \frac{1}{n} \rightarrow 1}\)