Matematyka.pl

Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} }\) jest niewymierna dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ n>1}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Zauważmy, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} }\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^n-n=0}\), który jest wielomianem o współczynnikach całkowitych i współczynniku kierującym \(\displaystyle{ 1}\), zatem z twierdzenia o całkowitych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych wynika, że jeśli istnieje pierwiastek wymierny tego wielomianu to jest on całkowity. Zatem wystarczy wykazać, że dla \(\displaystyle{ n>1}\) liczba \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} }\) jest niecałkowita. A tak jest gdyż dla \(\displaystyle{ n>1}\) mamy \(\displaystyle{ 1< \sqrt[n]{n} <2}\). Tak jest gdyż jeśli przekształcimy to równoważnie to mamy \(\displaystyle{ 1<n<2^n}\). Pierwsza nierówność jest oczywista, a druga łatwo wynika z nierówności Bernoulliego. Zatem liczba \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) nie jest całkowita, nie jest zatem też wymierna dla \(\displaystyle{ n>1}\).

Dobrze?

Nie wiem czy nie korzystasz z czegoś prostszego w tym momencie: "jeśli istnieje pierwiastek wymierny tego wielomianu to jest on całkowity". Nie jestem pewny czy autorowi zadania mogło chodzić właśnie o takie rozwiązanie. Biłbym bardziej do rozkładu na czynniki pierwsze i definicji pierwiastka. Problem na tyle prosty, że trudny, ale to moje zdanie.

Jeśli \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} = \frac{a}{b}}\) (ułamek nieskracalny) i \(\displaystyle{ p}\) jest dowolnym dzielnikiem pierwszym \(\displaystyle{ b}\), to \(\displaystyle{ a^n = nb^n}\) tj. sprzeczność gdyż lewa strona nie dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\).

A na czym polega ta sprzeczność?

Dasio, czy to rozumowanie, które napisałem jest poprawne? Bo tam faktycznie korzystam z tego, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych i współczynniku kierującym jeden, ma pierwiastek wymierny to jest on całkowity, ale to chyba jest ok, bo to jest prawda. Możesz to jakoś skomentować?

mol_ksiazkowy pisze: 10 sty 2025, o 14:14 Jeśli \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} = \frac{a}{b}}\) (ułamek nieskracalny) i \(\displaystyle{ p}\) jest dowolnym dzielnikiem pierwszym \(\displaystyle{ b}\), to \(\displaystyle{ a^n = nb^n}\) tj. sprzeczność gdyż lewa strona nie dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\).

ja bym trochę to przerobił , mamy równość \(\displaystyle{ a^n = nb^n}\)
niech \(\displaystyle{ p}\) będzie dzielnikiem pierwszym \(\displaystyle{ a}\)
wtedy \(\displaystyle{ p^n}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a^n}\)
ponieważ \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\) to \(\displaystyle{ p^n}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ n}\)

ale \(\displaystyle{ p^n \ge 2^n>n}\) i tu już widać sprzeczność

W obu rozumowaniach sprzeczność jest nie z założeniem że liczba \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n}}\) jest postaci \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\), lecz z tym, że \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ a}\) odpowiednio mają jakiś dzielnik pierwszy. Zatem wnioskiem z tej sprzeczności jest jedynie to, że \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\) jest równe jeden. O ile dokończenie tych rozumowań nie jest specjalnie trudne, to brak jakiejkolwiek wzmianki o tym, że w ogóle trzeba coś dokańczać, uznałbym za co najmniej lukę w dowodzie.

@max123321 Jest poprawne.