Pozorny paradoks

[Eariu52]

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{\left( n+1\right) \left( n+2\right) \left( n+3\right) } = \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{n}{\left( n+1\right) \left( n+2\right) \left( n+3\right) } }\)

[arek1357]

Co to jest?

- fakt
- twierdzenie
- zapytanie
- stwierdzenie
- pomysł

A może prowokacja???

[Psiaczek]

Zaproszenie do dyskusji może ? \(\displaystyle{ \frac{1}{12}= \frac{1}{4} }\) to by uprościło matematykę

chociaż w podobny deseń lepsza reforma to zbieżność szeregu harmonicznego gdy w mianownikach damy \(\displaystyle{ n^2}\)

[a4karo]

Obie sumy są równe `1/4`. I paradoksu żadnego to nie widać

[Psiaczek]

No tak, ja policzyłem je od \(\displaystyle{ n=1}\) a wtedy już nie są równe

[a4karo]

Dowód jest prosty, bo sumy się świetnie teleskopują:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \frac{n-1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\sum_{n=0}^\infty \left[\left(\red{\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}}\right)+\left(\blue{\frac{2}{n+2}-\frac{2}{n+3}}\right)\right]=\red{-1}+\blue{1}=0}\)