Nierówność trójkąta

[max123321]

Udowodnij nierówność trójkąta. Mamy trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\) i trzeba wykazać, że \(\displaystyle{ a+b>c}\).

Jak to zrobić geometrycznie? Może mi ktoś pomóc?

[arek1357]

Weź trzy proste kije....

[max123321]

Ale to ma być dowód geometryczny, a nie obserwacja.

[mol_ksiazkowy]

geometryczny

[max123321]

No dobra to jest jakiś pomysł, ale jak wykazać, że przyprostokątna jest krótsza niż przeciwprostokątna?

[arek1357]

jak wykazać, że przyprostokątna jest krótsza niż przeciwprostokątna

Otóż jak wykazać, że syn jest starszy od ojca:

Może się tak zdarzyć: otóż małżeństwo ma syna, który urodził się w roku 2000 , ojciec miał w tym czasie 30 lat , syn w roku 2010 w wieku 10 lat przenosi się w czasie do roku 1900, potem żyje do roku 1960 i w wieku 70 lat przenosi się w czasie do roku 2020 , jego ojciec ma wtedy lat 50 a syn 70...więc czy to paradoks??? nie sądzę...

Wymyśl teraz podobną historyjkę w której przyprostokątna stanie się dłuższa od przeciwprostokątnej...

[mol_ksiazkowy]

przyprostokątna jest krótsza niż przeciwprostokątna

z tw Pitagorasa...

[max123321]

Arek jak masz gadać takie głupoty to sobie pograj w piczi polo na żużlu

[arek1357]

piczi polo na żużlu

Ciekawa propozycja ale w moim wywodzie nie było żadnej głupoty bardzo spójna konstrukcja logicznie uzasadniona...
(wiele jest matematycznie i logicznie spójnych historii lub wywodów nie mających odzwierciedlenia w rzeczywistości)...

Za to Twój paradoks o przeciwprostokątnej krótszej niż przyprostokątna , który ci Mol sprostował tw. Pitagorasa ja wcale nie uważam za dowód tego iż przeciwprostokątna jest rzeczywiście dłuższa co ma do tego tw. Pitagorasa się pytam, ja tylko chciałem żebyś zastosował kilka trików za pomocą których wykazałbyś , że przeciwprostokątna jest krótsza a Ty się nie wykazałeś tylko każesz mi grać w pici polo, a ja Ci powiem, że jak na powierzchni kuli namalujesz trójkąt prostokątny to jego przeciwprostokątna może być równa przyprostokątnej. Więc nie znając moich intencji nie krytykuj zbyt szybko tego co piszę...

[max123321]

Arek:
Tak, bardzo spójna konstrukcja logicznie uzasadniona... bardzo...

Zwykłe pitolenie o Chopinie, nic więcej.

Dobra, czemu to miało służyć w ogóle? Trzeba udowodnić nierówność trójkąta, a Twoje komentarze niczego nie wnoszą, ani to wskazówka, ani to rozwiązanie, więc o co chodzi?

Mol:
Ok, ale żeby wykazać, że przeciwprostokątna jest dłuższa od przyprostokątnej z twierdzenia Pitagorasa, to muszę założyć, że druga przyprostokątna jest większa od zera. Chyba mogę tak założyć, bo gdyby była równa zero to trójkąt zdegenerowałby się do odcinka, a skoro mówimy o nierówności trójkąta, to trójkąt powinien być niezdegenerowany. To się chyba trzyma kupy, ale trochę dziwi mnie, że do nierówności trójkąta angażujemy twierdzenie Pitagorasa. Czy nie można jakoś prościej?

[mol_ksiazkowy]

No rozumiem Twoje watpliwości ;To może tak: okrąg opisany na tym trójkącie: najdłuższa cięciwą jest średnica...

[arek1357]

Max bo jak widzę, że próbujesz wykazać że trójkąt to trójkąt to mi się gotuje wszystko i dlatego podsuwałem Ci lepsze pomysły jak np. podróże w czasie..., że bok trójkąta ma długość większą od zera, itd... więc szczerze ci współczuje...

[bosa_Nike]

Nierówność trójkąta stanowi treść (s)twierdzenia nr 20 z pierwszej księgi Elementów Euklidesa. Hasło triangle inequality w angielskiej Wikipedii powinno odpowiedzieć na Twoje pytanie. Jeżeli chcesz źródeł, to możesz skorzystać z angielskiego przekładu:

Kod: Zaznacz cały

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html

lub przekładu polskiego w grupie Varia tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://www.mimuw.edu.pl/~lak/publik.html

Na dole strony pod pierwszym linkiem masz też tabelę zależności, gdybyś potrzebował uzasadniać bardziej podstawowe fakty.

[max123321]

O to to to! Dowód Euklidesa! Właśnie tego potrzebowałem. Czyli jednak taki dowód istnieje. Dzięki Bosa Nike.

A Arek niech się przenosi w czasie.

[matmatmm]

Być może to to samo co Euklides, ale zerknij na Twierdzenie 3.34.

Kod: Zaznacz cały

https://mk-semtop.us.edu.pl/teaching/geometria_MKula.pdf