Matematyka.pl

Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ \log x}\) jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ (0,\infty)}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Funkcja logarytm jest różniczkowalna zatem \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{x}\ln 10 }\) i \(\displaystyle{ f''(x)=\frac{-\ln 10}{x^2}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ 10 \ge 1}\), a stąd \(\displaystyle{ \ln 10 \ge 0}\) czyli \(\displaystyle{ -\ln 10 \le 0}\), a zatem skoro \(\displaystyle{ x>0}\) to\(\displaystyle{ -\frac{\ln 10}{x^2} \le 0}\) czyli
\(\displaystyle{ f''(x) \le 0}\), stąd logarytm jest wklęsły.

Dobrze?

A jak to zrobić bez używania pochodnych? Da się w ogóle?

z definicji (i własności logarytmu)..

Jest taka fajna charakteryzacja funkcji ciągłych:
`f` jest wypukła jeżeli dla każdego `h>0` funkcja `f(x+h)-f(x)` jest malejąca. Wykorzystaj to.

Kurde no nie wiem jak to pokazać. Cały czas mi wychodzi nierówność w drugą stronę. Próbuję tak:

Zakładam, że \(\displaystyle{ \forall x_1,x_2\in (0,\infty) \forall \alpha,\beta\in \left\langle 0,1\right\rangle \alpha+\beta=1}\) i chcę pokazać, że
\(\displaystyle{ \log(\alpha x_1+\beta x_2)\ge \alpha\log x_1+\beta\log x_2}\), ale za cholerę mi to nie wychodzi. Doszedłem do tego, że ta teza jest równoważna temu \(\displaystyle{ \frac{\alpha x_1+\beta x_2}{x_1^\alpha x_2^\beta}\ge 1}\), ale nie wiem co dalej.

Bo się pomyliłem, przepraszam. Jeżeli `f` wklęsła, to różnica malejąca. A jak wypukla, to rosnąca

Dodano po 2 minutach 59 sekundach:
A to, co dostajesz w swoich rachunkach to nierówność między średnia arytmetyczna i geometryczna.

Ok, to biorę dowolne \(\displaystyle{ h>0}\) i tworzę funkcję \(\displaystyle{ g(x)=\log (x+h)-\log x=\log (1+\frac{h}{x})}\). Teraz biorę dowolne \(\displaystyle{ 0<x_1<x_2}\) i chcę pokazać, że \(\displaystyle{ g(x_1)>g(x_2)}\). Zauważmy, że
\(\displaystyle{ x_2>x_1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}}\)
\(\displaystyle{ 1+\frac{h}{x_1}>1+\frac{h}{x_2}}\)
\(\displaystyle{ \log (1+\frac{h}{x_1})>\log(1+\frac{h}{x_2})}\)
\(\displaystyle{ g(x_1)>g(x_2)}\)
co kończy dowód.

Dobrze?

Dobrze, choć wystarczy zauważyć, że `h/x` maleje więc `1+h/x` też, zatem `\log(1+h/x)` też.

No ok, ale to jest taka trochę sztuczka, można nie znać tej charakteryzacji funkcji ciągłych, którą napisałeś. A jak pokazać tę felerną nierówność między średnimi ważonymi, w sensie to:
\(\displaystyle{ \alpha x_1+\beta x_2\ge x_1^\alpha x_2^\beta}\)
i jak wykazać to w miarę elementarnie? Na wikipedii jest dowód korzystający z nierówności Jensena, ale czy da się wykazać to bardziej elementarnie?

Ponieważ logarytm jest ciągły wystarczy pokazać te nierówność dla `a=b=1/2`

No dobra, to wykażę to dla \(\displaystyle{ \alpha=\beta= \frac{1}{2} }\). Wyjdźmy z prawdziwej nierówności i przekształćmy ją do nierówności między średnimi.

\(\displaystyle{ (\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2\ge 0}\)
\(\displaystyle{ x_1-2\sqrt{x_1x_2}+x_2\ge 0}\)
\(\displaystyle{ x_1+x_2\ge 2 \sqrt{x_1x_2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2}{2}\ge \sqrt{x_1x_2}}\)
i mamy.

No dobra, ale jak z tego i z tego, że logarytm jest ciągły wynika, prawdziwość tej nierówności dla innych \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\)?

To są wszystko rzeczy, które dość łatwo jest sobie wyszukać w sieci...(Wikipedia to nie wszystko )

, np. na Blogu Być Matematykiem; Zakamarki Wypukłośći itd.

Dowód na SA>=SG: \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab } = \frac{1}{2} ( \sqrt{a} - \sqrt{b} )^2 \ge 0}\)

a4karo, czy możesz odpowiedzieć na moje pytanie?

Są rózne rodzaje wypukłości:
1 w sensie Jensena: \(\displaystyle{ f\left(\frac{x+y}2\right)\le \frac{f(x)+f(y)}2}\)
2 w sensie Wrighta: dla każdego `h>0` funkcja `f(x+h)-f(x)` jest rosnąca
3 klasyczna: `f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)` dla `0<t<1`

Wiadomo, że `3 \subset 2 \subset 1` i że zawierania sa istotne.
Bardzo niewiele natomiast trzeba założyć o funkcji z klasy 1, żeby była wypukła w sensie klasycznym. To niewiele to np, ciągłość w jednym punkcie, ograniczoność z góry na pewnym przedziale, mierzalność. Tego typu wyniki były publikowane na początku 20 wieku.

Funkcje wypukłe w sensie Wrighta mają fajną charakteryzację: są postaci `w(x)+a(x)`, gdzie `w` jest klasyczną funkcja wypukła, a `a` jest funkcją spełniająca równanie Cauchy'ego `a(x+y)=a(x)+a(y)`. Takich nieciągłych funkcji jest mnóstwo.

Nie wiem czy dobrze rozumiem to co piszesz, ale wydaje mi się, że w tym zadaniu chodzi nam o wykazanie wklęsłości logarytmu w sensie klasycznym. Czyli sugerujesz, że logarytm jest wklęsły w sensie Jensena, więc wystarczy nam ciągłość w jednym jego punkcie, żeby mieć wklęsłość w sensie klasycznym. O to chodzi?

Tak

Dodano po 1 minucie 1 sekundzie:
Albo ograniczoność na pewnym przedziale, albo monotoniczność...