Matematyka.pl

Czy nierówność \(\displaystyle{ \sin( \frac{\alpha}{2} )\sin( \frac{\beta}{2} )\sin( \frac{\gamma}{2} ) \le \frac{1}{8} }\) (w trójkącie) można uogólnić na dowolny \(\displaystyle{ n}\)- kąt wypukły ?
(W szczególności czy dla czworokąta można szacować przez \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\))
Wskazać ewentualnie dowód.

Tak, to konsekwencja nieujemności i wklęsłości sinusa w pierwszej ćwiartce. Z AM-GM i Jensena mamy \[\prod\limits_i\sin\frac{A_i}{2}\le\left(\frac{\sum\limits_i\sin\frac{A_i}{2}}{n}\right)^n\le\left(\sin\frac{\sum\limits_i\frac{A_i}{2}}{n}\right)^n=\left(\sin\frac{(n-2)\pi}{2n}\right)^n.\]

Dodano po 22 dniach 14 godzinach 38 minutach 57 sekundach:
Powiązane zagadnienia:
a) Czy można podać charakteryzację wielokątów wypukłych, dla których w powyższej nierówności zachodzi równość?
b) Czy powyższa nierówność obejmuje również wielokąty wklęsłe? Tzn. czy istnieje uogólnienie na wszystkie wielokąty zwyczajne (ograniczone łamaną zamkniętą bez samoprzecięć)? (uzasadnienie/kontrprzykład)
c) Kiedy zachodzi równość, jeżeli odpowiedź na b) jest twierdząca? (przykłady figur)
d) Czy istnieje uogólnienie na wielokąty wiązane (ograniczone łamaną zamkniętą z samoprzecięciami)? (uzasadnienie/kontrprzykład)
e) Kiedy zachodzi równość, jeżeli odpowiedź na d) jest twierdząca? (przykłady figur)