Matematyka.pl

Zadanie 6.1.
W pewnym urządzeniu znajdują się wyłączniki o niepełnej niezawodności. Mianowicie, w przypadku występowania
impulsu udarowego przepływ prądu zostaje przerwany w \(\displaystyle{ 90\% }\) przypadków. Obliczyć, jaka powinna być minimalna liczba
takich wyłączników (połączonych szeregowo), aby prawdopodobieństwo wyłączenia urządzenia było równe co najmniej
\(\displaystyle{ 99.99\% }\)

Zadanie 6.2.
Partia wyrobów zawiera \(\displaystyle{ 3\% }\) braków. Z partii tej losujemy próbę liczącą \(\displaystyle{ n=100 }\) sztuk Należy obliczyć
prawdopodobieństwo, że w próbie znajduje się \(\displaystyle{ x = 0,1,2...,100 }\) sztuk wybrakowanych wyrobów. Narysować funkcję
prawdopodobieństwa.

Proszę o jakieś wskazówki,bo nie wiem jak mogę zacząć te zadania.

Zadanie 6.1

Zakładając niezależność zadziałania poszczególnych wyłączników, możemy przyjąć, że liczba wyłączników, które zadziałają jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrem \(\displaystyle{ p = 0,9 }\) i nieznanym \(\displaystyle{ n. }\)

Spełniona musi być nierówność:

\(\displaystyle{ 1 - P(0) \geq 0,9999 }\)

czyli

\(\displaystyle{ 1 - {n\choose 0}(0.9)^0 \cdot 0,1^{n} \geq 0.999 }\)

\(\displaystyle{ n = \ \ ...}\)

Odpowiedź: wystarczą ... wyłączniki.

Zadanie 6.2

Przyjmujemy rozkład Poissona z \(\displaystyle{ n = 100, \ \ p = 0,03,\ \ \lambda = n\cdot p = 100\cdot 0,03 = 3.}\)

Obliczamy kolejno:

\(\displaystyle{ P(0) = \frac{3^{0}\cdot e^{-3}}{0!} \approx 0,050.}\)

\(\displaystyle{ P(1) = \frac{3^{1}\cdot e^{-3}}{1!} \approx 0,149.}\)

\(\displaystyle{ P(2) = \frac{3^2\cdot e^{-3}}{2!} \approx 0,224. }\)

\(\displaystyle{ P(3) = \frac{3^3\cdot e^{-3}}{3!} \approx 0,224.}\)

\(\displaystyle{ P(4) = \frac{3^4\cdot 3^{-3}}{4!} \approx 0,168}\)

\(\displaystyle{ P(5) = \frac{3^5\cdot e^{-3}}{5!} \approx 0,101.}\)
....................................

Wartości funkcji maleją. Prawdopodobieństwo pojawienia się liczby braków większej od \(\displaystyle{ 10 }\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ 0,001.}\)

Przy obliczaniu wartości prawdopodobieństwa rozkładu Poissona możemy korzystać z tablic rozkładu Poissona, tablic funkcji wykładniczej lub programu komputerowego na przykład \(\displaystyle{ R.}\)