Matematyka.pl

Jeśli to możliwe wyznacz wartość parametru \(\displaystyle{ a\in \RR}\) tak, aby następująca funkcja była ciągła w całej swojej dziedzinie. Jeśli nie jest to możliwe wyjaśnij dlaczego.

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \arcsin (\frac{2x}{2+x})&\text{ gdy }x\le 2 \\ a+\arccos(4\cdot \frac{\sqrt{x+2}-2}{2-x}) &\text{ gdy }x>2. \end{cases} }\)

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:

Zauważmy wpierw, że poza argumentem \(\displaystyle{ x=2}\), ta funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie, bo jest złożeniem funkcji ciągłych, między innymi pierwiastek, funkcja wymierna, arcus sinus, arcus cosinus, suma, różnica, iloczyn, iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Trzeba zatem sprawdzić jedynie ciągłość funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x=2}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 2^-}f(x)=f(2)=\arcsin(\frac{4}{4})=\frac{\pi}{2} }\). Ponadto \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2^+}a+ \arccos(4\cdot \frac{\sqrt{x+2}-2}{2-x})= \lim_{x \to 2^+}a+ \arccos(4\cdot \frac{x+2-4}{(2-x)(\sqrt{x+2}+2)})=a+\arccos(-1)=a+\pi}\) i żeby funkcja była ciągła w tym punkcie to granice lewo i prawostronne oraz wartość funkcji w tym punkcie muszą być równe stąd \(\displaystyle{ a=-\frac{\pi}{2}}\).

Dobrze?

Jeżeli uważasz, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 2^{+}} \arccos \left( 4\cdot \frac{\sqrt{x+2} -2}{2-x} \right) = \pi}\) to tak, mi się nie chce myśleć nad tym, czy tak jest ale reszta rozumowania jest słuszna.

No, a niby ile jest równe? Przecież \(\displaystyle{ \arccos(-1)=\pi}\).