Twierdzenie Tietze'go
: 11 lis 2024, o 16:39
Zastanawia mnie czy w tym twierdzeniu (patrz książkę Ryszarda Engelkinga i Karola Siekluckiego 'Geometria i topologia', Cześć II, str. 51) przyjęte tam założenie aby dziedzina funkcji obciętej (względem tego poszukiwanego przedłużenia) jest zbiorem domkniętym -czy jest to istotne?? Czyli:
Czy jeśli mamy przedział \(\displaystyle{ X:=\left[ a,b\right] \subset \RR }\), gdzie \(\displaystyle{ a<b}\) (z metryką podprzestrzeni metryki euklidesowej na prostej liczbowej -wziąłem tutaj przedział, bo po co rozważać zbiór nieograniczony), oraz jeśli mamy dowolny ustalony podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) (niekoniecznie domknięty), oraz jeśli mamy funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f:A\rightarrow \left[ -1,1\right] }\), to czy zawsze można ją przedłużyć do funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f ^{*}: X \rightarrow \left[ -1,1\right] }\)?? I:
Czy jeśli \(\displaystyle{ X \subset \RR ^{2} }\) jest obszarem homeomorficznym z domkniętym kołem jednostkowym (z metryką podprzestrzeni metryki euklidesowej w \(\displaystyle{ \RR ^{2} }\)), oraz jeśli mamy dowolny ustalony podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X,}\) oraz jeśli mamy funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \left[ -1,1\right], }\) to czy zawsze można ją przedłużyć do funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f ^{*}: X \rightarrow \left[ -1,1\right]}\)??
Czy jeśli mamy przedział \(\displaystyle{ X:=\left[ a,b\right] \subset \RR }\), gdzie \(\displaystyle{ a<b}\) (z metryką podprzestrzeni metryki euklidesowej na prostej liczbowej -wziąłem tutaj przedział, bo po co rozważać zbiór nieograniczony), oraz jeśli mamy dowolny ustalony podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) (niekoniecznie domknięty), oraz jeśli mamy funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f:A\rightarrow \left[ -1,1\right] }\), to czy zawsze można ją przedłużyć do funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f ^{*}: X \rightarrow \left[ -1,1\right] }\)?? I:
Czy jeśli \(\displaystyle{ X \subset \RR ^{2} }\) jest obszarem homeomorficznym z domkniętym kołem jednostkowym (z metryką podprzestrzeni metryki euklidesowej w \(\displaystyle{ \RR ^{2} }\)), oraz jeśli mamy dowolny ustalony podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X,}\) oraz jeśli mamy funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \left[ -1,1\right], }\) to czy zawsze można ją przedłużyć do funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f ^{*}: X \rightarrow \left[ -1,1\right]}\)??