Matematyka.pl

Cześć. Mam problem z następującym twierdzeniem:
Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie podpierścieniem pierścienia \(\displaystyle{ P}\) i niech \(\displaystyle{ A \subseteq P}\). Wówczas \(\displaystyle{ a \in R[A]}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ a}\) jest skończoną sumą elementów postaci \(\displaystyle{ a_{1} \cdot \cdot \cdot a _{n} }\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną oraz \(\displaystyle{ a _{1},...,a _{n} \in R \cup A }\). Przy czym \(\displaystyle{ R[A]}\) oznacza najmniejszy podpierścień pierściania \(\displaystyle{ P}\) zawierający zbiór \(\displaystyle{ A \cup R}\).
Niech \(\displaystyle{ B}\) oznacza podzbiór złożony z elementów podanej postaci. Chciałbym pokazać, że jest on zamknięty ze względu na odejmowanie.
Niech \(\displaystyle{ s,t,x,y\in R \cup A}\). Można by napisać, że \(\displaystyle{ st-xy=st+(-y)x}\), gdyby w każdym iloczynie co najmniej jeden element był z \(\displaystyle{ R}\). Co jednak, gdy \(\displaystyle{ x,y\in A \setminus R}\)?

Często, a nawet zazwyczaj zakłada się, że "pierścień" oznacza "pierścień z jednością". W takim przypadku rozumie się też, że jedność podpierścienia równa się jedności pierścienia. W rozważanym przez Ciebie zadaniu tak właśnie jest, gdyż bez tych założeń zadanie jest zwyczajnie fałszywe.
Kontrprzykład: \(\displaystyle{ P = (2,X)\triangleleft \mathbb{Z}[X]}\) (tzn. ideał \(\displaystyle{ (2,X)}\) w pierścieni wielomianów \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[X]}\), traktowany jako pierścień (bez jedności)), \(\displaystyle{ R=2\mathbb{Z}}\), \(\displaystyle{ A=\{X\}}\).

Ok. Zatem załóżmy, że pierścień jest pierścieniem z jedynką. Jak pokazać, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zamknięty ze względu na odejmowanie?

\(\displaystyle{ 1}\) (jednośc pierścienia \(\displaystyle{ P}\)) jest też jednością pierścienia \(\displaystyle{ R}\), wobec tego element \(\displaystyle{ -1}\) przeciwny do \(\displaystyle{ 1}\) też nalezy do \(\displaystyle{ R}\). Z aksjomatów pierścienia wynika, że dla \(\displaystyle{ a\in B}\), \(\displaystyle{ (-1)\cdot a= -a}\), element przeciwny do \(\displaystyle{ a}\). Oczywiście należy on do \(\displaystyle{ B}\).