Matematyka.pl

Obliczyć granicę ciągu

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }( \frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+2}+...+ \frac{n}{n^2+n} ) }\)

Z prawej strony próbuję szacować przez \(\displaystyle{ n \cdot \frac{n}{n^2+1} }\), czyli zbieżność do 1, a jak z lewej strony?

Hint:
\[\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+2}+...+ \frac{n}{n^2+n} =\frac{1}{n^2+1} + \underbrace{\frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+2}}_{ 2\text{ składniki}}+...+ \underbrace{\frac{1}{n^2+n}+\ldots+\frac{1}{n^2+n}}_{ n\text{ składników}} \]
Pozdrawiam