Matematyka.pl

Dany jest ciąg
\(\displaystyle{ a_n = n(a_{n+2}- a_{n+1}) \\
a_1 = 0 \\
a_2=1}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} na_n = \frac{1}{e} }\)

Raczej to nie jest prawdą...

wzór jawny na: \(\displaystyle{ a_{n}}\)

wyszedł mi:

\(\displaystyle{ a_{n}=n \cdot \sum_{i=0}^{n-1} \frac{(-1)^i}{i!} + \frac{(-1)^n}{(n-1)!} }\)

lub:

\(\displaystyle{ a_{n}=n \cdot \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!} }\)

wzór jawny uzyskałem używając ciągów charakterystycznych i funkcji Gamma i jej odmian...

żeby teza była prawdziwa to \(\displaystyle{ n}\) powinno być w mianowniku wtedy to pyknie:

\(\displaystyle{ \frac{a_{n}}{n} \rightarrow \frac{1}{e} }\)

To w skrócie:

\(\displaystyle{ na_{n+2}=a_{n}+na_{n+1} / \cdot \sum_{n=1}^{ \infty } x^n}\)

po uproszczeniu i podstawieniu:

\(\displaystyle{ y= \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}x^n}\)

\(\displaystyle{ x \cdot \left( \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n+2}x^n\right)'= \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}x^n +x \cdot \left( \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n+1}x^n\right)' }\)

po skróceniu i uproszczeniu dostajemy równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ (x-x^2)y'=(x^2-x+2)y}\)

rozwiązanie:

\(\displaystyle{ y= \frac{x^2}{e^x(x-1)^2} }\)

Rozwinięcie w szereg daje:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{(-1)^n}{(n-2)!} F_{0}(2,2-n;;1)}\)

ale ze wzoru:

\(\displaystyle{ _{2}F_{0}(2,2-n;;1)= \frac{1}{\Gamma(2)} \int_{0}^{ \infty } \frac{t(1-t)^{n-2}}{e^t} dt =(-1)^n\int_{0}^{ \infty } \frac{t(t-1)^{n-2}}{e^t} dt }\)

teraz zajmijmy się całką:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{t(t-1)^{n-2}}{e^t} dt }\)

podstawienie:

\(\displaystyle{ x=t-1 }\)

da całkę po rozpiskach:

\(\displaystyle{ \frac{1}{e} \left[ \int_{-1}^{ \infty } \frac{x^{n-2}(x+1)}{e^x} dx\right]= \frac{1}{e} \left[ \int_{-1}^{0} \frac{x^{n-1}}{e^x} dx+ \int_{-1}^{0} \frac{x^{n-2}}{e^x} dx+\int_{0}^{ \infty } \frac{x^{n-1}}{e^x} dx+\int_{0}^{ \infty } \frac{x^{n-2}}{e^x} dx\right] }\)

licząc całki osobno otrzymamy:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0} \frac{x^{n-1}}{e^x} dx=-(n-1)!+\Gamma(n,-1)}\)

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0} \frac{x^{n-2}}{e^x} dx=-(n-2)!+\Gamma(n-1,-1)}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{x^{n-1}}{e^x} dx=(n-1)!}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{x^{n-2}}{e^x} dx=(n-2)!}\)

podstawiając wszystko się poskraca i otrzymamy:

\(\displaystyle{ a_{n}= \frac{\Gamma(n,-1)+\Gamma(n-1,-1)}{e(n-2)!} }\)

biorąc pod uwagę, że:

\(\displaystyle{ \Gamma(n,-1)=e(n-1)! \sum_{i=0}^{n-1} \frac{(-1)^i}{i!} }\)

\(\displaystyle{ \Gamma(n-1,-1)=e(n-2)! \sum_{i=0}^{n-2} \frac{(-1)^i}{i!} }\)

podstawiając i skracając otrzymamy jawny wzór na: \(\displaystyle{ a_{n}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=n \sum_{i=0}^{n} \frac{(-1)^i}{i!} }\)

cnd...