promień zbieżności

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
ggx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 10:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 5 razy

promień zbieżności

Post autor: ggx » 24 paź 2007, o 21:47

Dzisiaj dostałem takie zadanko:

Wyznaczyć promień zbieżności szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ } \frac{2^{n} n!}{(2n)!}x^{n}}\)

Jak to zrobić? \(\displaystyle{ R\ =\ lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\)?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

promień zbieżności

Post autor: Sir George » 25 paź 2007, o 19:57

ggx pisze:Jak to zrobić? \(\displaystyle{ R\, =\, \lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}}\)?
To jeden ze sposobów...

Przy okazji... zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{2^n\,n!}{(2n)!}\, =\, \frac{(2n)!!}{(2n)!}=\, \frac{1}{(2n-1)!!}}\)

ggx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 10:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 5 razy

promień zbieżności

Post autor: ggx » 25 paź 2007, o 20:27

Czyli limes dąży do 0?
Promień = nieskończoność?

Jeśli nie, to co się robi z tym \(\displaystyle{ x}\)?

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

promień zbieżności

Post autor: Sir George » 26 paź 2007, o 18:08

ggx pisze:Promień = nieskończoność?
TAK
Czyli limes dąży do 0?
NIE!!! limes - jak piszesz - do niczego nie dąży! Jest oznaczenie liczby (jednej, stałej, ustalonej!), która jest granicą ciągu!
ggx pisze:(...) co się robi z tym \(\displaystyle{ x}\)?
Nie wiem... tzn. wiem, ale nie powiem... hmm, tak naprawdę, to skoro jest to szereg potęgowy, możesz skorzystać z gotowych wzorów i twierdzeń mówiących, że szereg jest zbieżny bezwzględnie w każdym przedziale domkniętym zawartym wewnątrz przedziału (-R,R), gdzie \(\displaystyle{ \frac1R\, =\, \lim_{n\to\infty}\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|}\)

ggx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 4 wrz 2007, o 10:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan
Podziękował: 5 razy

promień zbieżności

Post autor: ggx » 26 paź 2007, o 18:44

Dzięki za pomoc. Temat już nieaktualny. Analiza zdana!

ODPOWIEDZ