Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (T,d)}\) będzie przestrzenią metryczną i niech \(\displaystyle{ \mathcal{B}_T=\{A\div B:A-\,\text{podzbiór otwarty w}\,T,\,B-\,\text{zbiór pierwszej kategorii w}\,T\}}\). Uzasadnij, że:

(a) \(\displaystyle{ \mathcal{B}_T}\) jest \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą.

(b) \(\displaystyle{ \mathfrak{B}_T\subset\mathcal{B}_T}\).

Masz udowodnić, że zbiory o własności Baire'a tworzą \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrę oraz że zbiory borelowskie mają własność Baire'a.

Dowód (a) masz np. tutaj: https://www.math.mcgill.ca/atserunyan/Teaching_notes/Baire-meas_sets.pdf .

Drugi warunek dowodzi się trywialnie z definicji, bo zbiory otwarte należą do \(\displaystyle{ \mathcal{B}_T}\), więc generowana przez nie \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra (czyli \(\displaystyle{ \mathfrak{B}_T}\)) z minimalności zawiera się w \(\displaystyle{ \mathcal{B}_T}\) (dzięki (a)).

Dziękuję za odpowiedź i ten przydatny plik, dużo tu własności, które trzeba pamiętać z topologii.