Matematyka.pl

Jak udowodnić, że ciało liczb algebraicznych jest rozszerzeniem Galois ciała liczb wymiernych?

Jakiej używasz definicji rozszerzenia Galois?

W mojej książce rozszerzenie Galois definiuje się jako rozszerzenie algebraiczne ciała, wobec którego istnieje automorfizm będący identycznością na ciele rozszerzanym, a na pozostałych elementach nie, tak to zrozumiałem.

Rozszerzenie L ciała K nazywamy rozszerzeniem Galois, jeśli jest to rozszerzenie algebraiczne i dla każdego element \(\displaystyle{ a \in L-K}\) istnieje taki automorfizm \(\displaystyle{ \alpha \in Aut(L/K)}\), że \(\displaystyle{ \alpha(a) \neq a}\)

\(\displaystyle{ Aut(L/K)}\) to zbiór tych automorfizmów systemu \(\displaystyle{ L}\), które są identycznością na podzbiorze \(\displaystyle{ K}\).

I jak dobrze rozumiem, gdybyśmy mieli \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) i jego rozszerzenie \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\), to takim automorfizmem byłoby przekształcenie przypisujące liczbę sprzężoną.

Dowód od zera byłby dość pracochłonny - może znane Ci są jakieś fakty pomocnicze?

1. Ciało liczb algebraicznych \(\displaystyle{ \hat{\mathbb{Q}}}\) jest algebraicznie domknięte.

2. Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie dowolnym ciałem i niech \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) będą dowolnymi pierwiastkami pewnego wielomianu nierozkładalnego \(\displaystyle{ w \in K[x]}\). Wtedy istnieje automorfizm \(\displaystyle{ f \in \operatorname{Aut}(\hat{K}/K)}\), taki że \(\displaystyle{ f(a) = b}\).

3. Każdy izomorfizm ciał \(\displaystyle{ f_0 : K_1 \to K_2}\) rozszerza się do izomorfizmu ich algebraicznych domknięć \(\displaystyle{ f : \hat{K_1} \to \hat{K_2}}\).

Bez 1. trudno cokolwiek ruszyć. Z użyciem 1. i 2. dowód jest dość prosty, a mając jedynie 3. nietrudno wykazać 2. Z kolei by udowodnić 3. potrzeba już lematu Kuratowskiego-Zorna, więc lepiej gdyby było zielone światło na jego użycie.