Matematyka.pl

Czy można rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \cos(\arcsin(2x)) = \frac{1}{2}}\) korzystając z własności, że \(\displaystyle{ \arccos\left( \frac{1}{2} \right) = \arcsin(2x)}\) nie tracąc przy tym jednego rozwiązania, które tracimy ze względu na zbiór wartości arcusa cosinusa?

Równanie \(\displaystyle{ \cos y = \frac{1}{2}}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ y \in \mathbb{R}}\). Jeśli uwzględni się, że ten \(\displaystyle{ y}\) ma tak naprawdę być arcusem sinusem dwóch iks dla pewnego iks, to rozwiązania zostają dwa: \(\displaystyle{ y = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}}\) i \(\displaystyle{ y = -\arccos \frac{1}{2} = -\frac{\pi}{3}}\). Początkowe równanie jest zatem równoważne alternatywie \(\displaystyle{ \arcsin(2x) = \frac{\pi}{3} \lor \arcsin(2x) = -\frac{\pi}{3}}\) i w ten sposób oczywiście nie zgubimy żadnego rozwiązania.