Pierwiastki z 1

[Lalus_Salamanca]

Zadanie brzmi: Znajdź wszystkie pierwiastki piątego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\). Rozłóż wielomian \(\displaystyle{ x ^{4} + x ^{3} + x ^{2} + 1}\) na nierozkładalne czynniki rzeczywiste.
Oczywiście natychmiast otrzymałem \(\displaystyle{ w_1 = \cos \frac{2}{5}\pi + i \sin \frac{2 \pi }{5}, w_{2} =\cos \frac{4 \pi }{5} + i \sin \frac{4 \pi }{5}}\) etc.

Chyba nie o to chodziło w zadaniu. Może to głupie pytanie ale wiecie jak policzyć \(\displaystyle{ \sin}\) lub \(\displaystyle{ \cos\frac25\pi}\) bez wolphrama? I jak pierwsza część zadania ma się do drugiej albo ogólnie do liczb zespolonych?

Z góry dziękuję za odp i przepraszam jeśli to nie wygląda pięknie ale to mój pierwszy post tutaj.

[Psiaczek]

wnioskuję że ponieważ \(\displaystyle{ x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) }\) to chodziło ci o rozłożenie na czynniki rzeczywiste wielomianu
\(\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1}\)

w tym celu możesz rozwiązać równanie zwrotne po podzieleniu przez \(\displaystyle{ x^2}\) odpowiednim podstawieniem \(\displaystyle{ t=x+ \frac{1}{x} }\)

jeżeli się nie pomyliłem to się sprowadzi do \(\displaystyle{ t^2+t-1=0 }\) następnie dwa równania z których jedno to
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}= \frac{-1- \sqrt{5} }{2} }\)

I dalej jak to piszą " po żmudnych acz wykonalnych rachunkach" dojdziesz do tych pierwiastków pierwotnych piątego stopnia z jedności
A łącząc je w pary sprzężone ze sobą uzyskasz rozkład na czynniki rzeczywiste.

Można też dojść od strony funkcji trygonometrycznych ale rachunki spore również. Jak już obliczysz że \(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{10}= \frac{ \sqrt{5}-1}{4} }\) to dalej z górki