Matematyka.pl

Jaka jest maksymalna liczność zbioru liczb naturalnych mniejszych od \(\displaystyle{ 3n}\), w którym nie ma dwóch różnych elementów o sumie bądź różnicy równej \(\displaystyle{ n}\)

Po mojemu to będzie:

\(\displaystyle{ a_{n}=n+\lceil \frac{n}{2} \rceil}\)

Dla \(\displaystyle{ n=5}\)
Proponuję zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 3, 4, 5, 6, 7, 13, 14\right\} }\) Liczebność to \(\displaystyle{ 7}\)
Wzór mówi o \(\displaystyle{ 8}\)
Jest jakaś propozycja na \(\displaystyle{ 8}\) liczb?

dla \(\displaystyle{ n=5}\) mamy:

\(\displaystyle{ \left\{ 1,2,5,11,12,13,14,15\right\} }\)

czyli osiem...

Moja koncepcja jest taka: dzielimy zbiór wyjściowy na trzy podzbiory:

\(\displaystyle{ \left\langle 1;n\right\rangle \cup \left\langle n+1;2n\right\rangle \cup \left\langle 2n+1;3n\right\rangle }\)

czyli na trzy podzbiory: \(\displaystyle{ 1,2,3}\)

Liczby nazywamy konfabularne, jeżeli ich suma lub różnica ich daje \(\displaystyle{ n}\)

Zauważmy, że w trzecim podzbiorze nie ma liczb konfabularnych i dlatego zostawiamy cały trzeci pozdbiór co już daje \(\displaystyle{ n}\)

ale dowolna liczba z drugiego podzbioru jest konfabularna z pewną liczbą zbioru trzeciego przez to wywalamy drugi zbiór...

zbiór pierwszy nie jest konfabularny z trzecim więc zostaje nam zbiór pierwszy, gdzie niektóre liczby są ze sobą konfabularne

metodą prób i błędów (ze wskazaniem na mój pierwszy post bo się nie zawsze sprawdza) wyszło mi, że liczb niekonfabularnych w zbiorze pierwszym

maksymalnie może być:

\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor+1}\)

co daje nam wzór:

\(\displaystyle{ a_{n}=n+\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor+1}\)

i dlatego wzór z pierwszego posta szwankował dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych...

Te liczby mają być mniejsze od \(\displaystyle{ 3n}\) , tj \(\displaystyle{ +1}\) w tym wzorze znika....

czyli jedynkę odrzucamy i wzorek się uprości, chociaż to dość sztuczne założenie...