Matematyka.pl

Dany jest ciąg funkcji
\(\displaystyle{ f_1(x) = x \\ f_{n+1}(x) = f_n(x)(f_n(x) + \frac{1}{n} )}\)
Udowodnić, że istnieje dokładnie jedna dodatnia liczba \(\displaystyle{ a}\), taka, że
\(\displaystyle{ 0 < f_n(a) < f_{n+1}(a) < 1}\) dla wszystkich całkowitych \(\displaystyle{ n \ge ­ 1}\).

Bardziej może w formie dyskusji...:

Według mnie rozwiązanie równania:

\(\displaystyle{ f_{n+1}(x)=x}\) -niezerowe

rozwiązanie: \(\displaystyle{ r(n)}\)

\(\displaystyle{ r(1)<r(2)<r(3)<...<1}\)

zaczyna się dla: \(\displaystyle{ n \ge 2}\), kolejne rekurencje każdy punkt ściągają albo do zera albo do nieskończoności, jeżeli teraz obliczymy:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} r(n)=r}\)

to granica ta będzie punktem spełniającym warunek zadania...

\(\displaystyle{ f_{1}(r) < f_{2}(r) < f_{3}(r)<...<1}\)

Prawdopodobnie jedynka będzie basenem przyciągania tego ciągu wartości...