Trójkąty o równych polach

[dzialka11o]

Czy istnieją trójkąty o równych polach , których boki są naturalnymi liczbami całkowitymi ?

Dodano po 2 dniach 42 minutach 31 sekundach:
Okazuje się że tak :
Z ciekawszych to trójkąty ;
1) [13, 15, 14 ] trójkąt indyjski o polu P=84 ( tu iloczyn boków podzielony przez 60 nie jest liczbą całkowitą)
stąd nie należy do trójkątów pitagorejskich i egipskich
2) [ 24 , 25 , 7 ] pierwotny trójkąt pitagorejski o polu P=84 (zauważmy że iloczyn boków podzielony przez 60 jest liczbą całkowitą)

Jakie inne trójkąty mają równe pola o bokach w liczbach całkowitych
T.W,

[3a174ad9764fefcb]

Na przykład:

• \(\displaystyle{ (2, 2, 3)}\) i \(\displaystyle{ (1, 4, 4)}\)
• \(\displaystyle{ (3, 4, 4)}\) i \(\displaystyle{ (2, 6, 7)}\)
• \(\displaystyle{ (3, 5, 7)}\) i \(\displaystyle{ (1, 13, 13)}\)
• \(\displaystyle{ (4, 4, 4)}\) i \(\displaystyle{ (2, 7, 7)}\)
• \(\displaystyle{ (9, 14, 16)}\), \(\displaystyle{ (8, 18, 23)}\), \(\displaystyle{ (7, 32, 38)}\), \(\displaystyle{ (4, 46, 49)}\) i \(\displaystyle{ (2, 72, 73)}\)
• \(\displaystyle{ (13, 14, 15)}\), \(\displaystyle{ (10, 17, 21)}\), \(\displaystyle{ (7, 24, 25)}\) i \(\displaystyle{ (8, 29, 35)}\)

[dzialka11o]

Brawo !
Zostałem bardzo miło zaskoczony tym że są takie trójkąty.
Faktycznie spełniają one warunki wynikające ze wzoru Herona.
Ale czy są takie pary trójkątów egipskie o tych samych polach o bokach w liczbach całkowitych?
T.W.

Dodano po 5 dniach 48 minutach 39 sekundach:
Prawdopodobnie nie znajdziemy takich , może się mylę ?
T.W.

[3a174ad9764fefcb]

Masz na myśli trójkąty prostokątne? Są takie, wystarczy cierpliwie poszukać.

• \(\displaystyle{ (29, 21, 20)}\) i \(\displaystyle{ (37, 35, 12)}\)
• \(\displaystyle{ (58, 42, 40)}\), \(\displaystyle{ (74, 70, 24)}\) i \(\displaystyle{ (113, 112, 15)}\)
• \(\displaystyle{ (73, 55, 48)}\) i \(\displaystyle{ (122, 120, 22)}\)
• \(\displaystyle{ (109, 91, 60)}\) i \(\displaystyle{ (197, 195, 28)}\)

[dzialka11o]

Pozostała jeszcze jedna kwestia :
Czy istnieją trójkąty o równych obwodach , ( suma boków w liczbach całkowitych) ?
Z uszanowaniem .
T.W.

Dodano po 11 dniach 23 godzinach 49 minutach 35 sekundach:
Wyznaczmy elipsę metodą sznurową .
Suma promieni wodzących elipsy względem dwóch punktów zwanych ogniskami jest wielkością stałą .

Przyjmijmy :
Dowolny trójkąt równoboczny którego boki stanowią dowolną liczbę całkowitą .
Podstawa trójkąta równobocznego jest jednocześnie odległością ogniskowych szukanej elipsy metodą sznurową .
Stąd między innymi suma promieni wodzących w całkowitych jest ( równa bokom tego trójkąta równobocznego ) w liczbach całkowitych .

T.W.

Dodano po 15 dniach 1 godzinie 38 minutach 47 sekundach:
Podobny problem :
Jak znaleźć pary trójkątów prostokątnych o bokach w liczbach całkowitych ,
o równych obwodach w liczbach całkowitych ?
Taką jedną parę udało mi się znaleźć :
!) 15 , 112 , 113 ,
2) 60 , 80 , 100 ,
Wskazówka : do powyżej podanej pary :
ad1) to pierwotny trójkąt pitagorejski , ( bo bok przyprostokątnej w tym trójkącie jest liczbą całkowita nieparzystą)
obwód tego trójkąta ( l = 15 x16 lub (15 x15 +15 ; dany bok mnożymy przez tą samą i dodajemy tą samą )
ad2) najmniejszy trójkąt egipski powiększony k-krotnie należy do zbioru trójkątów egipskich .
Jeśli istnieje jedna taka para takich trójkątów prostokątów to domniemam że istnieją też inne
takie pary trójkątów prostokątnych o podanych własnościach .
O ile jest to możliwe to proszę o podanie takich zestawień .
T.W.

[ciach]

[dzialka11o]

Czy jest taki trójkąt prostokątny pitagorejskie pierwotny ,
którego pole jest równe jego obwodowi ?
Czy jest taki trójkąt prostokątny egipski dla których pole jest równe jego obwodowi ?
Wykazać że promienie okręgów wpisanych w te trójkąty są sobie równe .
( Jak donoszą kroniki , u starożytnych rozwój arytmetyki szedł w parze z rozwojem numerologii
a geodeci z tego okresu na długo przed budową piramid doskonale znali te zależności .)
T.W.

[arek1357]

\(\displaystyle{ a=m^2-n^2 , b=2mn , c=m^2+n^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left( m^2-n^2\right) \cdot 2mn =m^2-n^2+2mn+m^2+n^2}\)

po uproszczeniu otrzymasz:

\(\displaystyle{ n(m-n)=2}\)

znajdź wszystkie rozwiązania tego równania , np.:

\(\displaystyle{ m=3 , n=2 }\)

\(\displaystyle{ a= 5 , b=12 , c=13 }\)

pole równe obwodowi \(\displaystyle{ = 30}\)

poza tym nie wiem czemu robisz jakieś straszne różnice między trójkątem pitagorejskim a egipskim dla mnie to jeden ciul...

[dzialka11o]

OK! to nie jest to samo ?
Trójkąt egipski powiększony 2-krotnie należy do zbioru trójkątów egipskich ,
tym samym spełniają twierdzenie Talesa,
Każdy trójkąt prostokątny pitagorejski pierwotny powiększony 2-krotnie
nie należy do zbioru trójkątów pierwotnych , mimo że spełnia twierdzenie Talesa .
TRÓJKATY EGIPSKIE NIE SĄ PODOBNE DO TRÓJKĄTÓW PITAGOREJSKICH PIERWOTNYCH .
to zasadnicza różnica .
T.W.

[arek1357]

Dla mnie czy pitagorejski czy egipski to takie których boki są liczbami całkowitymi i są prostokątne i nie wiem jaka jest Twoja definicja pitagorejskich i egipskich najpierw obie klasy zdefiniuj a potem szukaj różnic i podobieństw...dla mnie jak napisałem to jeden ciul...

[dzialka11o]

Podany przez Ciebie przykład tego trójkąta spełnia warunek w liczbach całkowitych
którego obwód jest równy jego polu . (* )
( znając jego boki z łatwością obliczymy promień okręgu wpisanego w ten trójkąt prostokątny )
Trójkąt ten należy do zbioru prostokątnych pierwotnych trójkątów pitagorejskich :
Rodzaje trójkątów pitagorejskich przedkłada tabela w poniższym załączniku .
https://pl.wikipedia.org/wiki/Trójki_pitagorejskie
Zależności jakie cechują prostokątne trójkąty pitagorejski pierwotne :
pokazuje 1- wiersz ; 7-wiersz , i 1 1-wiersz tej tabeli .
( ta tabela nie zawiera trójkątów egipskich ( tzw. pięknych) ,
tych własności nie posiadają trójkąty egipskie w liczbach całkowitych (**)
Zauważmy to trójkąty których najmniejszy bok przyprostokątnej
stanowią liczby nieparzystą , a drugi bok przyprostokątny jest zawsze liczbą parzystą ,
(przeciwprostokątna stanowi liczbą nieparzystą największą w tym trójkącie. .
W układzie numerologicznym : ponumerujemy liczby nieparzyste
Numer tej liczby jest jednocześnie promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt ,
-
Drugim trójkątem , który spełnia zależność :(pole jest równe jego sumie boków )
to najmniejszy trójkąt egipski o bokach całkowitych , (* *), powiększony 2-krotnie ,
Zauważmy że promienie okręgów wpisanych trójkąty (*) i (**) są sobie równe .
Oba te trójkąty są trójkątami prostokątnymi i w tym ujęciu się z Toba zgadzam .
Dzięki za uwagę
T.W.

[dzialka11o]

Bardzo ciekawie algorytm który generuje trójki pitagorejskie pierwotne przedłożył
<mol- książkowy> w poniższym załączniku :
------------
kompendium-ciekawostek-f156/kamyki-i-fi ... 24053.html
------------
Dla zainteresowanych tą problematyką to bardzo ciekawy materiał analityczny.
( Z tej zależności również dobrze znajdziemy trójkąt prostokątny o polu równym sumie jego boków
Zauważmy że to kolejny 2-gi trójkąt pitagorejski pierwotny co wykazał i uzasadnił " < arek1357> "
( najmniejszy trójkąt egipski (**) o bokach w liczbach całkowitych należy do zbioru
trójkątów egipskich i jednocześnie do zbioru trójkątów prostokątnych pitagorejskich pierwotnych ,
Stąd Euklidesowe pojęcie " pierwszeństwa" pierwotnych .
Serdecznie pozdrawiam ,
T.W.
------------
PS
Przykro mi że nie w Latex-e
Próbowałem ale wychodzi mi to co nie powinno ?

[dzialka11o]

Pełny tekst strony:
kompendium-ciekawostek-f156/kamyki-i-fi ... tml#p45332

[dzialka11o]

Koleżeńsko < arek1357> ciekawie wykazał że w zbiorze prostokątnych trójkątów pitagorejskich pierwotnych
jest jeden taki i tylko jeden trójkąt który spełnia zależność ; (o bokach w liczbach całkowitych )
gdzie pole tego trójkąta jest równe obwodowi , to 2-gi prostokątny trójkąt pitagorejski pierwotny,
To bardzo ciekawy a zarazem dość złożony problem diofantyczny .
-
Jest możliwość ominięcia tych zawiłości diofantycznych .
Porównajmy obustronnie wzór na pole z obwodem 2-go trójkąta pierwotnego pitagorejskiego ,
zauważmy że we wzorze na pole tego prostokątnego trójkąta występuje jedna niewiadoma ,
zaś suma boków tego trójkąta zawiera w sobie dwie niewiadome .
Z " właściwości jakie cechują prostokątne trójkąty pitagorejski pierwotne" :
z łatwością uzyskamy zależność pola i sumy długości boków z jedna niewiadomą .
Porównując teraz pole z jedna niewiadomą z sumą długości boków z jedna niewiadomą
po uproszczeniu stronami uzyskamy identyczny wynik jak jak uzyskał < arek1357>
Z uszanowaniem
T.W.

[dzialka11o]

Nasuwa się intuicyjnie następujące spostrzeżenie :
Uzasadnić że dla każdego trójkąta pitagorejskiego pierwotnego , (o bokach w liczbach całkowitych)
boki przyprostokątnych parzystych w tych trójkątach wyraża następująca zależność numerologiczna;
Nn +n , ( n- to numer liczby nieparzystej N przyprostokątnej nieparzystej w trójkątach pierwotnych . )
( zauważmy mnożymy zawsze przez tą samą i dodajemy ta samą)
To bardzo wygodna i mało znana zależność pozwalająca szukany bok parzysty
wyliczyć błyskawicznie w trzech krokach .
Z poważaniem .
T.W.

[dzialka11o]

Wykazać że dla każdego prostokątnego" trójkąta pitagorejskiego pierwotnego" , (o bokach w liczbach całkowitych)
boki przyprostokątnych parzystych w tych trójkątach wyraża też stosunkowo prosty algorytm ;
2n(n+1) , ( n- to numer liczby nieparzystej przyprostokątnej nieparzystej w trójkątach pierwotnych . )
[ Z podanej zależności w oparciu o twierdzenie Pitagorasa znajdziemy przeciwprostokątną nieparzystą
i przyprostokątną najmniejszą nieparzystą równą wartości ( 2n+1 )].
T.W.