Matematyka.pl

Wyznacz równanie prostej, zawierającej dwusieczną tego kąta, utworzonego przez proste \(\displaystyle{ k \ :\ x+3y-1=0}\) oraz \(\displaystyle{ m \ : \ 6x-2y+1=0}\), do obszaru którego należy punkt \(\displaystyle{ P\left( 3,1\right)}\).

Wyznaczyłem (z równania na odległość punktu od prostej) te dwie dwusieczne (gdyż wychodzą dwa przypadki). I teraz pytanie jak odrzucić tą jedną niewłaściwą prostą?

Gdy prosta ma równanie \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), to wyznacza ona dwie półpłaszczyzny otwarte

\(\displaystyle{ \{(x,y): Ax+By+C>0\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{(x,y): Ax+By+C<0\}}\).

Dzielisz więc całą płaszczyznę na cztery obszary i sprawdzasz do którego należy punkt \(\displaystyle{ P}\).

Ok, a nie wystarczy po prostu wstawić tego punktu do równania z wartościami bezwzględnymi? Wyjdą wartości dodatnie, a więc opuszczamy je bez zmiany znaku i mamy równanie szukanej prostej.

Do jakiego równania?

Tu chodzi o sprawdzenie, czy wartości \(\displaystyle{ x+3y-1}\) oraz \(\displaystyle{ 6x-2y+1}\) dla \(\displaystyle{ P=(x,y)}\) mają te same czy różne znaki.

Jeśli to miałeś na myśli, to tak, wystarczy.

Ok, a co powiesz na pomysł sprawdzenia odległości punktu \(\displaystyle{ P}\) od wyznaczonych dwusiecznych i następnie wybranie tej dwusiecznej, dla której ta odległość będzie mniejsza?

Nie zawsze da to dobry wynik.

Gdy próbowałem wyznaczyć konstrukcyjnie równanie dwusiecznej to miałem ten sam problem

Mając równania prostej rozwiązałem układ równań
Punkt będący rozwiązaniem układu równań nazwałem O
Na jednym z ramion kąta obrałem sobie punkt A
Napisałem równanie okręgu o środku w punkcie O i promieniu OA
Na drugim ramieniu kąta wyznaczam punkt C
rozwiązując układ równań z równaniem okręgu O(O,OA) oraz równaniem prostej OB
gdzie B to punkt leżący na tym drugim ramieniu kąta
Na koniec napisałem równanie prostej prostopadłej do AC i przechodzącej przez O

Gdy wyznaczałem równanie dwusiecznej kąta w powyższy sposób
to wychodziły dwa punkty C i też musiałem wybrać tylko jeden


Gdybyśmy działali na wektorach i spróbowali znaleźć równanie prostej zawierającej przekątną rombu to
by zadziałało bez potrzeby odrzucania punktu

Zrób rysunek. Powinno wystarczyć

matmatmm pisze: 5 paź 2024, o 20:15 Nie zawsze da to dobry wynik.

Rozumiem, tylko czy w tym konkretnym przypadku, gdy wyjściowe proste są prostopadłe to jednak liczenie tych odległości nie wystarczy? A co do rysunku, to obawiam się, że stwierdzenie "widać z rysunku" na maturze rozszerzonej raczej nie wystarczy...

Określamy równania dwusiecznych:

\(\displaystyle{ \frac{|x+3y -1|}{\sqrt{10}} = \frac{|6x -2y +1|}{2\sqrt{10}} \ \ | \cdot \sqrt{10} }\)

\(\displaystyle{ |x+3y -1| = \frac{1}{2}|6x-2y +1| \ \ (*)}\)

Podstawiamy współrzędne punktu \(\displaystyle{ P(3,1) }\) po stronie lewej i prawej równania \(\displaystyle{ ] (*).}\)

\(\displaystyle{ L = |3 + 3\cdot 1 -1| = | 7|, \ \ 7 >0 }\)

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \left|6\cdot 3 -2\cdot 1 -1\right| = \left| \frac{17}{2} \right|, \ \ \frac{17}{2} >0 }\)

Wybieramy dwusieczną tego kąta, do obszaru którego należy punkt \(\displaystyle{ P(3,1) }\)

\(\displaystyle{ +(x + 3y -1) = +\frac{1}{2}( 6x-2y +1) }\)

\(\displaystyle{ x + 3y -1 = 3x -y + \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ l_{1}: 2x - 4y + \frac{3}{2} = 0. }\)

(rys.)

41421356 pisze: 7 paź 2024, o 18:41 Rozumiem, tylko czy w tym konkretnym przypadku, gdy wyjściowe proste są prostopadłe to jednak liczenie tych odległości nie wystarczy? A co do rysunku, to obawiam się, że stwierdzenie "widać z rysunku" na maturze rozszerzonej raczej nie wystarczy...

Jak wyjściowe proste są prostopadłe, to rzeczywiście da to dobry wynik. Nie zauważyłem, że w tym przypadku są prostopadłe.