Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a > 1}\) i \(\displaystyle{ b>1}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a>b}\), to istnieje \(\displaystyle{ f: (0, +\infty) \to \RR}\) taka, że funkcja \(\displaystyle{ f(a^x)-x }\) jest rosnąca, zaś \(\displaystyle{ f(b^x)-x }\) jest malejąca dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\)
(i na odwrót, tj. jeśli takie \(\displaystyle{ f}\) istnieje, to \(\displaystyle{ a>b}\)).

W drugą stronę: weźmy \(\displaystyle{ x, y > 0}\), takie że \(\displaystyle{ a^x = b^y}\). Z założeń mamy

\(\displaystyle{ f(a^x) - x > f(a^0) - 0 = f(b^0) - 0 > f(b^y) - y}\).

Stąd \(\displaystyle{ x < y}\) i tym samym \(\displaystyle{ a > b}\).