Matematyka.pl

Populacje lisów i zajęcy wyrażają wzory:
\(\displaystyle{ \begin{cases} z(t+1) = 4z(t)- 2 l(t) \\ l(t+1)= z(t)+ l(t) \\ z(0)=600 \\ t(0)=500 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ t}\) jest czasem określonym w latach
i) wyznaczyć obie populacje po \(\displaystyle{ t=30}\)
ii) kiedy (i czy) zajęcy będzie mniej niż lisów ?
iii) czy istnieje \(\displaystyle{ \lim \frac{l(t)}{z(t)} }\)

\(\displaystyle{ z(t)=400 \cdot 2^t+200 \cdot 3^t}\)

\(\displaystyle{ l(t)=400 \cdot 2^t+100 \cdot 3^t}\)

Przy układaniu zadań z tescią ważne jest, żeby miały one jakiś sens.
Nie zastanawiałeś się jak wyżywić \(\displaystyle{ 4\cdot 10^{16}}\) zajęcy? I gdzie je pomieścić?

To są kosmiczne lisy i kosmiczne zające - tam jest dużo miejsca. A żywią się pewnie promieniowaniem kosmicznym.

JK

Mogą być gremliny i smurfy (lub inne stwory)... tj. te nieco uszczypliwe uwagi wydają się być raczej niestosowne...., a jak podał klasyk:

W słynnym przykładzie lisów i zajęcy nie jest ważne, ile jest jednych i drugich. Ważne, że wymieranie lisów powoduje rozradzanie się
zajęcy, od czego rozradzają się lisy itd. Jeśli proces jest oscylacyjny i nie rozbieżny, cybernetyk odchodzi uspokojony, liczenie zajęcy pozostawiając Ksieciu-Panu z Jicina.

No cóż, do modelu drapieżnik-ofiara równanie liniowe raczej się nie nadaje

To równanie układał jakiś gajowy może nawet gajowy Marucha układ równań wzięty z sufitu lub kosmosu...

Populacje lisów i zajęcy, modelujemy liniowym układem dynamicznym równań różnicowych z warunkami początkowymi:

\(\displaystyle{ \begin{cases} z(t+1) = 4z(t) -2l(t) \\ l(t+1) = z(t) + l(t) \\ \\ z(0) = 600, \ \ l(0)= 500. \end{cases} }\)

Znajdujemy funkcje \(\displaystyle{ z(t), l(t).}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} z(t+1)\\ l(t+1) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z(t) \\ l(t) \end{bmatrix} }\)

Diagonalizujemy macierz układu:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} =A .}\)

\(\displaystyle{ \det( A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 4-\lambda & -2 \\ 1 & 1-\lambda \end{bmatrix} =(4-\lambda)(1-\lambda) +2= 4 - 4\lambda -\lambda + \lambda^2 +2 = 6 -5\lambda + \lambda^2 = 0 = (\lambda-2)(\lambda-3)=0.}\)

Wartości własne: \(\displaystyle{ \lambda_{1} = 2, \ \ \lambda_{2} = 3.}\)

Wektory własne odpowiadające wartościom własnym:

\(\displaystyle{ \ker(A -2I) = \ker \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = span \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right).}\)

\(\displaystyle{ \ker(A -3I) = \ker \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = span \left(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\right).}\)

Macierz diagonalizująca \(\displaystyle{ D = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} z(0) \\ l(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 600 \\ 500 \end{bmatrix}= 4\begin{bmatrix} 100 \\ 100 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 200 \\ 100 \end{bmatrix}.}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} z(t) \\ l(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^{t} & 0 \\ 0 & 3^{t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z(0) \\ l(0) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2^{t} & 0 \\ 0 & 3^{t} \end{bmatrix} \left \{4\begin{bmatrix} 100 \\ 100 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 200 \\ 100 \end{bmatrix}\right\} = 4\cdot 2^{t}\begin{bmatrix} 100 \\ 100 \end{bmatrix} + 3^{t} \begin{bmatrix} 200 \\ 100 \end{bmatrix}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \begin{cases} z(t) = 400\cdot 2^{t} + 200\cdot 3^{t} \\ l(t) = 400\cdot 2^{t} + 100 \cdot 3^{t} \end{cases}.}\)

PS
Treść zadania pochodzi z książki: OTTO BRETSCHER LINEAR ALGEBRA and APPLICATIONS. Ed. PEARSON 2014.

Autor uwzględnia dodatkowe warunki początkowe: \(\displaystyle{ z(0)=l(0)= 100, \ \ z(0) = 200,\ \ l(0) = 100,}\) nie zastanawiając się nad praktyczną interpretacją rozwiązań.