Matematyka.pl

Dzień dobry

Czy ten dowód jest w miarę poprawny (patrz załączniki)? Dlaczego? Czy możemy uznać, że dwa rozłączne okręgi (nieważne czy stykają się jednym punktem, czy też żadnym) są spójne i zwarte, ale nie są łukowo spójne, ponieważ musimy "przeskoczyć" z jednego zbioru do drugiego, co zaburza nam ciągłość przekształcenia ciągłego? Dlaczego? Bo na razie wiem tylko tyle, że spójność można definiować w przestrzeni metrycznej zbiorami domkniętymi, jak i otwartymi, ale żeby nie komplikować sobie życia, to korzystając z faktu "Każda metryka generuje topologię" lepiej definiować otwartymi.

krasnoludek10 pisze: 25 wrz 2024, o 10:12Czy możemy uznać, że dwa rozłączne okręgi (nieważne czy stykają się jednym punktem, czy też żadnym) są spójne i zwarte, ale nie są łukowo spójne, ponieważ musimy "przeskoczyć" z jednego zbioru do drugiego, co zaburza nam ciągłość przekształcenia ciągłego?

Nie. Zbiór składający się z dwóch okręgów, które są rozłączne, nie jest spójny, zaś zbiór składający się z dwóch okręgów stykających się jednym punktem jest łukowo spójny.

Natomiast pomysł, żeby rozwiązanie przedstawić jako ciąg skanów sprawia, że od razu spada ochota na jego lekturę.

JK

To jaki może być przykład zbioru spójnego i zwartego, który nie jest łukowo spójny?

Tu masz przykłady: https://topology.pi-base.org/spaces?q=Connected%2B%7EPath+connected%2BCompact.

Przy okazji: to, co Ty nazywasz "łukową spójnością" jest zazwyczaj definiowane jako "drogowa spójność". W łukowej spójności chodzi o homeomorficzny, a nie tylko ciągły obraz odcinka.

JK

Racja, mój błąd. Zapomniałem dodać, że temat pochodzi z zagadnienia "Niezmienniki przekształceń ciągłych" (spójność, zwartość, otwartość, domkniętość itp.), który ściśle wiąże się z homeomorfizmami

Dodano po 5 godzinach 4 minutach 40 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: 25 wrz 2024, o 15:50 Tu masz przykłady: https://topology.pi-base.org/spaces?q=Connected%2B%7EPath+connected%2BCompact.

Przy okazji: to, co Ty nazywasz "łukową spójnością" jest zazwyczaj definiowane jako "drogowa spójność". W łukowej spójności chodzi o homeomorficzny, a nie tylko ciągły obraz odcinka.

JK

Z całym szacunkiem, ale moja wiedza topologiczna chyba aż tak daleko nie sięga, bo te przykłady wydają mi się dość skomplikowane. Z angielskim jest trochę lepiej.

krasnoludek10 pisze: 25 wrz 2024, o 21:01 Z całym szacunkiem, ale moja wiedza topologiczna chyba aż tak daleko nie sięga, bo te przykłady wydają mi się dość skomplikowane. Z angielskim jest trochę lepiej.

A kto powiedział, że istnieją prostsze? Skąd u Ciebie nagle potrzeba znalezienia przestrzeni spójnej i zwartej, która nie jest drogowo spójna?

JK

Po prostu, aby udowodnić, że każda przestrzeń łukowo spójna jest spójna, ale na odwrót już niekoniecznie. A że Pan Engelking umieścił w swojej książce takie zadanie, gdzie jednocześnie zbiór musi być zwarty.. No cóż... Też tego nie rozumiem dlaczego nie może po prostu być spójny.

krasnoludek10 pisze: 25 wrz 2024, o 23:36Po prostu, aby udowodnić, że każda przestrzeń łukowo spójna jest spójna, ale na odwrót już niekoniecznie.

Na to są prostsze przykłady, np. https://en.wikipedia.org/wiki/Topologist%27s_sine_curve.

krasnoludek10 pisze: 25 wrz 2024, o 23:36A że Pan Engelking umieścił w swojej książce takie zadanie, gdzie jednocześnie zbiór musi być zwarty.. No cóż... Też tego nie rozumiem dlaczego nie może po prostu być spójny.

Bo to inne zadanie.

JK

Z ciekawości zadałem sobie trud i przeczytałem pierwszy dowód Chata własności, że

Przestrzeń łukowo spójna jest spójna.

Jak zauważył Jan Kraszewski w tym dowodzie nie jest użyta standardowa definicja łukowej spójności, więc miejmy to w razie czego na uwadze.

Dowód przebiega zaskakująco prawidłowo aż do punktu 5. Sprzeczność.

W tym to punkcie Chat operuje mglistym pojęciem "przekształcenie musi przechodzić z \(\displaystyle{ U}\) do \(\displaystyle{ V}\)" i równie mglistym "punkt leży na granicy między \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\)". Następnie Chat stwierdza, że istnieje punkt w zbiorze wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\), który nie leży ani w \(\displaystyle{ U}\) ani w \(\displaystyle{ V}\) (co oczywiście szybko prowadzi do sprzeczności). Dla mnie jednak jest to krok dowodowy w żaden sposób nie uzasadniony, tym bardziej że dowód standardowy (ten który znam) przebiega zupełnie inaczej.

Pozdrawiam

Z ciekawości zadałem sobie trud i przeczytałem pierwszy dowód Chata własności, że

W takim razie chętnie poznam dowód standardowy, najlepiej połączony z Chatowym, ale niekoniecznie

Oczywiście uwzględniający, że łukową spójność rozumiemy w sensie homeomorficznym, co już wcześniej zostało wyjaśnione w związku z zagadnieniem, w którym on został umieszczony, czyli "Niezmienniki przekształceń ciągłych"

PS. U Pana Engelkinga nie znalazłem definicji ani drogowej spójności, ani łukowej, więc chętnie poznam obie i relacje między nimi. No i oczywiście czy wszystkie są niezmiennikami przekształceń ciągłych

Dowód standardowy do punktu 4 jest taki sam jak Chata, natomiast sprzeczność polega na tym, że zbiory \(\displaystyle{ U\cap f([0,1])}\) oraz \(\displaystyle{ V\cap f([0,1])}\) stanowią podział zbioru spójnego \(\displaystyle{ f([0,1])}\) na dwa niepuste, otwarte i rozłączne podzbiory.

krasnoludek10 pisze: 26 wrz 2024, o 20:48 PS. U Pana Engelkinga nie znalazłem definicji ani drogowej spójności, ani łukowej, więc chętnie poznam obie i relacje między nimi. No i oczywiście czy wszystkie są niezmiennikami przekształceń ciągłych

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_sp%C3%B3jna#Sp%C3%B3jno%C5%9B%C4%87_drogowa_i_%C5%82ukowa

Jak rozumiesz niezmiennik przekształceń ciągłych?

To już rano odpowiem na to pytanie. Natomiast w chwili obecnej udowodniliśmy, że każda przestrzeń drogowo spójna jest spójna, tak? I żeby udowodnić, że łukowo spójna też, to musimy przejść przez drogową spójność? Jak? Tak po prostu korzystając z definicji homeomorfizmu, czyli tego, że jest to bijekcja, funkcja ciągła i funkcja odwrotna też ciągła?

Tak mnie jeszcze naszło. Czy jeżeli przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) jest ośrodkowa (to znaczy zbiór przeliczalny i gęsty), to przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ Y}\) też będzie, jeżeli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest homeomorfizmem?

krasnoludek10 pisze: 26 wrz 2024, o 23:49Natomiast w chwili obecnej udowodniliśmy, że każda przestrzeń drogowo spójna jest spójna, tak?

Tak.

krasnoludek10 pisze: 26 wrz 2024, o 23:49 I żeby udowodnić, że łukowo spójna też, to musimy przejść przez drogową spójność? Jak? Tak po prostu korzystając z definicji homeomorfizmu, czyli tego, że jest to bijekcja, funkcja ciągła i funkcja odwrotna też ciągła?

Każda przestrzeń łukowo spójna jest drogowo spójna wprost z definicji, bo każdy homeomorfizm jest funkcją ciągłą.

JK

Dodano po 3 minutach 18 sekundach:

krasnoludek10 pisze: 26 wrz 2024, o 23:49 Tak mnie jeszcze naszło. Czy jeżeli przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) jest ośrodkowa (to znaczy zbiór przeliczalny i gęsty), to przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ Y}\) też będzie, jeżeli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest homeomorfizmem?

Tak, to łatwo udowodnić, obraz zbioru przeliczalnego gęstego będzie przeliczalny gęsty.

JK

matmatmm pisze: 26 wrz 2024, o 22:14 Jak rozumiesz niezmiennik przekształceń ciągłych?

Def. 1. \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest ciągłe w punkcie \(\displaystyle{ x \in X}\), jeśli dla każdego otoczenia \(\displaystyle{ V \subset Y}\) punktu \(\displaystyle{ f(x)}\) istnieje otoczenie \(\displaystyle{ U \subset X}\), które jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ f(U) \subset V}\).

Def. 2. Przekształcenie \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\), gdzie \(\displaystyle{ (X, O)}\), \(\displaystyle{ (Y, O')}\) są przestrzeniami topologicznymi, nazywamy przekształceniem ciągłym, gdy dla \(\displaystyle{ U \in O'}\) mamy \(\displaystyle{ f^{-1}(U) \in O}\); tj. jeśli przeciwobraz każdego zbioru otwartego w \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem otwartym w \(\displaystyle{ X}\).

Def. 3. Mówimy, że własność \(\displaystyle{ w}\) jest niezmiennikiem przekształceń ciągłych z klasy \(\displaystyle{ P}\), jeśli przekształcenia z \(\displaystyle{ P}\) zachowują własność \(\displaystyle{ w}\), tj. jeśli dla każdego \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y \in P}\) przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) ma \(\displaystyle{ w}\), to \(\displaystyle{ Y}\) też. Inaczej mówiąc, jest to własność, która jest zachowywana przy homeomorfizmach.

Z tego co się orientuję, to inną nazwą jest niezmiennik topologiczny.

PS. Czy sinusoida zagęszczona, sinusoida warszawska i zamknięta krzywa sinusoidalna topologa są innymi nazwami na to samo zagadnienie? Jak najprościej udowodnić, że przeciwobraz zbioru otwartego/domkniętego jest otwarty/domknięty? Czy w podanym temacie spełnione są analogiczne warunki, jeżeli chodzi o obraz? Prawdopodobnie tak, ale dlaczego?

krasnoludek10 pisze: 27 wrz 2024, o 11:52 Def. 3. Mówimy, że własność \(\displaystyle{ w}\) jest niezmiennikiem przekształceń ciągłych z klasy \(\displaystyle{ P}\), jeśli przekształcenia z \(\displaystyle{ P}\) zachowują własność \(\displaystyle{ w}\), tj. jeśli dla każdego \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y \in P}\) przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) ma \(\displaystyle{ w}\), to \(\displaystyle{ Y}\) też. Inaczej mówiąc, jest to własność, która jest zachowywana przy homeomorfizmach.

Zdanie niebieskie mówi coś innego niż czerwone. Skąd pochodzi ta definicja?

Jak najprościej udowodnić, że przeciwobraz zbioru otwartego/domkniętego jest otwarty/domknięty?

Ale przez co?

Matematyka.pl

Spójność i łukowa spójność

Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność

Re: Spójność i łukowa spójność