Matematyka.pl

Dany jest trójkąt o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\). Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ r=p-c}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\)-promień okręgu wpisanego w dany trójkąt i \(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}(a+b+c) }\), to trójkąt ten jest prostokątny z kątem prostym leżącym na przeciwko boku \(\displaystyle{ c}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

1) wzór na pole z sinusem kąta z zadania
2) wzór na pole z promieniem okręgu wpisanego
3) twierdzenie cosinusów

I przekształcać aby dojść do tezy.

Zastanawiałem się też czy nie można od razu zauważyć, że w prostokątnym mamy \(\displaystyle{ r=0,5(a+b-c)}\), czyli z danych zadania właśnie to wynika.

Druga myśl prowadzi do prostszego rozwiązania.

Aby wykazać implikację:

Jeśli \(\displaystyle{ r = p-c }\) i \(\displaystyle{ p = \frac{1}{2}(a+b+c) }\) to trójkąt jest prostokątny,

podstawiamy \(\displaystyle{ r = p - c = \frac{1}{2}(a+b+c) -c = \frac{1}{2}(a+b-c) }\) i wykazujemy, że długość promienia okręgu wpisanego tylko w trójkąt prostokątny spełnia to równanie.

\(\displaystyle{ \red{P}=\frac{a+b+c}{2}r=\frac{a+b+c}{2}\frac{a+b-c}{2}=\frac{(a+b)^2-c^2}{4}=\frac{a^2+b^2-c^2}{4}+\frac{ab}{2}\\
=\frac{2ab\cos\gamma}{4}+\red{\frac{ab}{2}\sin\gamma }+\frac{ab}{2}(1-\sin\gamma) }\)
Stąd
\(\displaystyle{ 0=\cos\gamma+1-\sin\gamma}\)
zatem
\(\displaystyle{ \gamma=\pi/2}\)

No faktycznie a4karo, fajny dowód, nie zauważyłem tego, ale trzeba przyznać, że trzeba mieć trochę sprawności rachunkowo-geometrycznej, żeby tak to napisać.

A swoją drogą, jak najprościej uzasadnić, że z \(\displaystyle{ 0=\cos\gamma+1-\sin\gamma}\) wynika \(\displaystyle{ \gamma=\pi/2}\)? Bo ja to tego cosinusa zamieniłem na sinusa, a potem ze wzoru na sumę sinusów, ale może jakoś prościej się da?

Przenieś jedynkę na drugą stronę i podnieś do kwadratu

No dobrze, ale to trzeba chyba zrobić jakieś założenia, że \(\displaystyle{ \sin\gamma-\cos\gamma>0}\)? Bo, po podniesieniu do kwadratu, trzeba wykluczyć przypadek, gdy \(\displaystyle{ \sin\gamma-\cos\gamma=-1}\).

Jak już rozwiążesz to, co dostaniesz, to wtedy sprawdzisz które rozwiązania spełniają równanie, a które nie. To się nazywa analiza starożytnych

No racja, to ma sens.

Inny sposób.

\(\displaystyle{ r=p-c}\)
\(\displaystyle{ p=\frac{a+b+c}{2}}\)

\(\displaystyle{ P=pr\\\\
P=p(p-c)}\)

\(\displaystyle{ P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\)

\(\displaystyle{ p(p-c)=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\ \ \ |()^2\\\\
p^2(p-c)^2=p(p-a)(p-b)(p-c)\ \ \ |:p(p-c)\\\\
p(p-c)=(p-a)(p-b)\\\\
...\\\\
p=\frac{ab}{a+b-c}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b-c}=\frac{a+b+c}{2}\\\\
(a+b-c)(a+b+c)=2ab\\
(a+b)^2-c^2=2ab\\\\
a^2+2ab+b^2-c^2-2ab=0\\\\
a^2+b^2=c^2}\)

\(\displaystyle{ a+b+ c = a -r + r +r + b-r +b - r + a -r }\)

\(\displaystyle{ a+b+c = 2a +2b - 2r }\)

\(\displaystyle{ 2r = a + b -c }\)

\(\displaystyle{ r = \frac{a +b - c}{2}.}\)

Przypadek wyjątkowy :
Pole trójkąta prostokątnego wynosi P=84
Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi r=3 .
Jakie wymiary ma ten trójkąt prostokątny w liczbach całkowitych ?

T.W.

Dodano po 8 minutach 46 sekundach:
Czy jest możliwość wyznaczenia wymiarów tego prostokąta w liczbach całkowitych
nie znając promienia wpisanego w ten trójkąt ?/
T.W.

Dodano po 1 dniu 7 minutach 10 sekundach:
Było błędnie zadane pytanie :
Czy jest możliwość wyznaczenia wymiarów tego prostokąta w liczbach całkowitych
nie znając promienia wpisanego w ten trójkąt ?/
_________________________________________________________________________
O to pytanie :
Czy jest możliwość wyznaczenia wymiarów tego trójkąta prostokąta o polu P = 84 w liczbach całkowitych
nie znając promienia wpisanego w ten trójkąt ?/
T.W.

Dodano po 24 minutach 26 sekundach:
Podobne zadanie :
Jakie ma wymiary trójkąt prostokątny o polu P = 30
( Mało znana tożsamość P = r (r + c ) . )
r - promień okręgu wpisanego w trójkąt
c - najdłuższy bok tego trójkąta .
Kto wie jak zabrać się do tego typy zadań .
T.W.

Nie istnieje taki trójkąt prostokątny o polu \(\displaystyle{ 84, }\) bo choć jego przyprostokątne będą miały długość wyrażoną w liczbach całkowitych na przykład:

\(\displaystyle{ a = 21,\ \ b = 8 }\) lub \(\displaystyle{ a = 24,\ \ b= 7 }\) itd. ... ,to długość jego przeciwprostokątnej nie będzie liczbą całkowitą

\(\displaystyle{ c = \sqrt{21^2 + 8^2} \notin \ZZ, \ \ c = \sqrt{24^2 + 7^2} \notin \ZZ.}\)

janusz47 pisze: 2 paź 2024, o 13:39 Nie istnieje taki trójkąt prostokątny o polu \(\displaystyle{ 84, }\) bo [...] \(\displaystyle{ c = \sqrt{24^2 + 7^2} \notin \ZZ.}\)

Według mnie \(\sqrt{24^2 + 7^2}=25\in\ZZ\).

Pozdrawiam

Było zapytanie ;
Jakie ma wymiary trójkąt prostokątny o polu P = 30
w liczbach całkowitych .
T.W.