Poprawność definicji odwzorowania stycznego
: 18 wrz 2024, o 23:15
Cześć, przerabiam książkę G.F.T. del Castillo "Differentiable Manifolds - A Theoretical Physics Approach". Jest wprowadzenie do rozmaitości różniczkowych i muszę udowodnić, że odwzorowanie styczne rzeczywiście przeprowadza wektor \(\displaystyle{ v_p \in T_pM}\) w jakiś element przestrzeni \(\displaystyle{ T_{\psi(p)}N}\). Pewnie jak większość osób, najwięcej problemu jest z uproszczonym zapisem różniczkowalności - pomijanie map - dlatego chciałbym, żeby ktoś mógł potwierdzić, że dowód, który pokażę jest okej. Wszystko jest \(\displaystyle{ C^{\infty}}\), zatem:
\(\displaystyle{ M,N}\) - rozmaitości różniczkowe \(\displaystyle{ C^{\infty}}\), \(\displaystyle{ \psi:M \rightarrow N}\) jest odwzorowaniem różniczkowalnym \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) między tymi rozmaitościami.
Odwzorowanie styczne zdefiniowane jest jako \(\displaystyle{ \psi_{*p}(v_p)[f] = v_p (\psi^{*}f)}\), gdzie \(\displaystyle{ f\in C^{\infty}(N), \psi^{*}f) = f\circ \psi}\) (pullback - chyba 'cofnięcie'?). Mam pokazać, że \(\displaystyle{ \psi_{*p}(v_p) \in T_{\psi(p)}N}\)
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f \in C^{\infty}(N)}\) oraz dla \(\displaystyle{ U \subset N, V \subset M}\), mapy \(\displaystyle{ \left(U, \phi\right), \left(V, \eta\right)}\) i niech \(\displaystyle{ p \in U, \psi(p) \in V}\).
Licze \(\displaystyle{ \psi_{*p}(v_p)[f] = v_p (\psi^{*}f) = v_p( f\circ \psi) = v_p(x_i) \left(\frac{ \partial }{\partial x_i}\right)_{p}(f \circ \psi) = v_p(x_i) \frac{ \partial f \circ \psi }{\partial x_i} (p) = \ldots}\)
uwzględniając definicję różniczkowalności na podrozmaitości i mapy
\(\displaystyle{ \ldots = v_p(x_i) \frac{ \partial f \circ \psi \circ \phi^{-1}}{\partial x_i} (\phi(p)) \\
= v_p(x_i) \frac{ \partial f \circ \psi \circ \phi^{-1}}{\partial x_i} (\phi(p))
= v_p(x_i) \frac{ \partial f \circ \eta^{-1} \circ \eta \circ \psi \circ \phi^{-1}}{\partial x_i} (\phi(p)) \\
= v_p(x_i) \frac{ \partial (\eta \circ \psi \circ \phi^{-1}\circ \phi)_j}{\partial x_i} (p) \frac{ \partial f \circ \eta^{-1}}{\partial x_j} (\eta \circ \psi \circ \phi^{-1}(p))) \\
= v_p(x_i) \frac{ \partial (\eta \circ \psi \circ \phi^{-1} \circ \phi)_j}{\partial x_i} (p) \frac{ \partial f }{\partial x_j} (\psi (p)) }\),
skąd:
\(\displaystyle{ \psi_{*p}(v_p)[f] = \left( v_p(x_i) \frac{ \partial (\eta \circ \psi \circ \phi^{-1} \circ \phi)_j}{\partial x_i} (p)\right) \left( \frac{\partial}{\partial x_j}\right)_{\psi(p)} \in span \left\{ \Bigg(\frac{\partial}{\partial x_j}\Bigg) _{\psi(p)} \right\} = T_{\psi(p)}N}\)
Z jednej strony nie mam pytań do dowodu, współczynniki przy elementach bazy w ostatnim równaniu zgodnie z notacją Einsteina dają liczbę rzeczywistą. Wydaje mi się, że jest okej, ale jeszcze szukam 'potwierdzenia'.
\(\displaystyle{ M,N}\) - rozmaitości różniczkowe \(\displaystyle{ C^{\infty}}\), \(\displaystyle{ \psi:M \rightarrow N}\) jest odwzorowaniem różniczkowalnym \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) między tymi rozmaitościami.
Odwzorowanie styczne zdefiniowane jest jako \(\displaystyle{ \psi_{*p}(v_p)[f] = v_p (\psi^{*}f)}\), gdzie \(\displaystyle{ f\in C^{\infty}(N), \psi^{*}f) = f\circ \psi}\) (pullback - chyba 'cofnięcie'?). Mam pokazać, że \(\displaystyle{ \psi_{*p}(v_p) \in T_{\psi(p)}N}\)
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ f \in C^{\infty}(N)}\) oraz dla \(\displaystyle{ U \subset N, V \subset M}\), mapy \(\displaystyle{ \left(U, \phi\right), \left(V, \eta\right)}\) i niech \(\displaystyle{ p \in U, \psi(p) \in V}\).
Licze \(\displaystyle{ \psi_{*p}(v_p)[f] = v_p (\psi^{*}f) = v_p( f\circ \psi) = v_p(x_i) \left(\frac{ \partial }{\partial x_i}\right)_{p}(f \circ \psi) = v_p(x_i) \frac{ \partial f \circ \psi }{\partial x_i} (p) = \ldots}\)
uwzględniając definicję różniczkowalności na podrozmaitości i mapy
\(\displaystyle{ \ldots = v_p(x_i) \frac{ \partial f \circ \psi \circ \phi^{-1}}{\partial x_i} (\phi(p)) \\
= v_p(x_i) \frac{ \partial f \circ \psi \circ \phi^{-1}}{\partial x_i} (\phi(p))
= v_p(x_i) \frac{ \partial f \circ \eta^{-1} \circ \eta \circ \psi \circ \phi^{-1}}{\partial x_i} (\phi(p)) \\
= v_p(x_i) \frac{ \partial (\eta \circ \psi \circ \phi^{-1}\circ \phi)_j}{\partial x_i} (p) \frac{ \partial f \circ \eta^{-1}}{\partial x_j} (\eta \circ \psi \circ \phi^{-1}(p))) \\
= v_p(x_i) \frac{ \partial (\eta \circ \psi \circ \phi^{-1} \circ \phi)_j}{\partial x_i} (p) \frac{ \partial f }{\partial x_j} (\psi (p)) }\),
skąd:
\(\displaystyle{ \psi_{*p}(v_p)[f] = \left( v_p(x_i) \frac{ \partial (\eta \circ \psi \circ \phi^{-1} \circ \phi)_j}{\partial x_i} (p)\right) \left( \frac{\partial}{\partial x_j}\right)_{\psi(p)} \in span \left\{ \Bigg(\frac{\partial}{\partial x_j}\Bigg) _{\psi(p)} \right\} = T_{\psi(p)}N}\)
Z jednej strony nie mam pytań do dowodu, współczynniki przy elementach bazy w ostatnim równaniu zgodnie z notacją Einsteina dają liczbę rzeczywistą. Wydaje mi się, że jest okej, ale jeszcze szukam 'potwierdzenia'.