Matematyka.pl

Liczba \(\displaystyle{ x}\) leży w przedziale \(\displaystyle{ \left( k, k+1\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ k }\) jest pewną liczbą całkowitą. Oblicz \(\displaystyle{ k}\), jeżeli:
\(\displaystyle{ x= \frac{20}{7+ \sqrt{47} } }\).
Zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ x= \frac{20}{7+ \sqrt{47} }= \frac{20 \cdot \left(7- \sqrt{47}\right) } {2}= 10 \left( 7- \sqrt{47} \right)}\).
I co dalej?

Ja bym zauważył, że \(68<\sqrt{4700}<69\) ...

Pozdrawiam

\(\displaystyle{ \frac{20}{7+ \sqrt{49} } < \frac{20}{7+ \sqrt{47} } <\frac{20}{7+ \sqrt{36} } \\
\frac{20}{14} <\frac{20}{7+ \sqrt{47} }< \frac{20}{13}\\
1 \frac{3}{7} <\frac{20}{7+ \sqrt{47} }< 1\frac{7}{13}\\

}\).

Zanim zaczniemy cokolwiek liczyć, spójrzmy na treść zadania. Mamy dany jakiś przedział obustronnie otwarty gdzie \(\displaystyle{ x}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ k < x < k + 1.}\) Biorąc pod uwagę, że \(\displaystyle{ k}\) jest pewną liczbą całkowitą a \(\displaystyle{ (k + 1)}\) jest kolejną liczbą całkowitą. Możemy powiedzieć, że w zadaniu pytają o to: między jakimi kolejnymi liczbami całkowitymi leży \(\displaystyle{ x}\)? Oszacujmy wartość \(\displaystyle{ \sqrt{47}}\) - jest to więcej niż \(\displaystyle{ 6 = \sqrt{36}}\) i mniej niż \(\displaystyle{ 7 = \sqrt{49}}\). Podstawmy oszacowane wartości:
\(\displaystyle{ \frac{20}{7 + 7} < x < \frac{20}{7 + 6} \\
\frac{20}{14} < x < \frac{20}{13} }\)
Zaokrąglamy wynik do najbliższej liczby całkowitej, odpowiednio do dołu i do góry:
\(\displaystyle{ 1 < x < 2}\)

Odp.: \(\displaystyle{ k = 1}\)