Transformata Fouriera względem miary

[matmatmm]

Czy istnieje jakiś sensowny warunek konieczny albo wystarczający na to, żeby

\(\displaystyle{ \int_{\RR}e^{ix}f(x)\dd x=0,}\)

gdy wiadomo, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją o wartościach rzeczywistych dodatnich? Czy istnieje uogólnienie na całkę

\(\displaystyle{ \int_{\RR}e^{ix}f(x)\mu(\dd x)=0,}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mu}\) jest borelowską miarą probabilistyczną?

[janusz47]

Z tego wynika, że \(\displaystyle{ \mu(\mathcal{B}) = 0 }\) i odwrotnie jeśli \(\displaystyle{ \mu(\mathcal{B}) = 0 ,}\) to całka Fresnela jest równa zero.

[matmatmm]

Nie rozumiem. Co to jest \(\displaystyle{ B}\)? Jaki jest związek całki Fresnela z funkcją \(\displaystyle{ f}\)?

Dodam, że chodziło mi tak naprawdę o całkę

\(\displaystyle{ \int_0^1e^{2\pi i x}f(x)\dd x}\)

lub jej uogólnienie z miarą \(\displaystyle{ \mu}\).

[janusz47]

\(\displaystyle{ \mathcal {B} }\) to oznaczenie zbiorów borelowskich.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} e^{2\pi ix}f(x) = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0. }\)

własności tej całki i jej uogólnienia:

'\(\displaystyle{ \int_{\RR}e^{ix}f(x)\mu(\dd x)=0 \Leftrightarrow \mu = 0. }\)

opisane są w książce:

Sergio A. Albeverio Raphael, J. Høegh-Krohn, Sonia Mazzucchi. Mathematical Theory of Feynman Path Integrals. Springer 2008.

[a4karo]

`\cos(4\pi x)` jest dobrym kontrprzykładem na to "twierdzenie". Janusz zwykle ogląda wzorki, ale nie czyta założeń.

[janusz47]

Polecam jeszcze monografię o zastosowaniach analizy Fouriera w probabilistyce.

Tatsuo Kawata. Fourier Analysis in Probability Theory. 1972.