Matematyka.pl

Czy ktoś mógłby pomóc w tym zadaniu?

Się rozwiązuje tak samo jak zadanie bez treści. To jest równanie o rozdzielonych zmiennych. Spróbuj samodzielnie.

W dodatku nawet nie trzeba rozdzielać...

JK

Czy mogę dla uproszczenia zapisać to równanie jako: \(\displaystyle{ y'=kyx-ky^2}\) ?

Naprawdę uważasz, że tak jest prościej?! Z literką \(\displaystyle{ x,}\) która oznacza tu stałą?

JK

Czyli w równaniu z treści zadania zarówno k, jak i N to są stałe?

Tak.

JK

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = kx( N-x), \ \ 0 \leq x < N }\)

Rozdzielamy zmienne i całkujemy obustronnie

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x(N-x)} = \int k\cdot dt }\)

Ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{x(N-x)} }\) - przedstawiamy w postaci sumy dwóch ułamków

\(\displaystyle{ \frac{1}{x(N-x)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{a(N-x)} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{1}{x(N-x)} = \frac{a(N-x) +bx}{x(N-x)} = \frac{(-a+b)x + aN}{x(N-x)} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -a +b = 0 \\ \ \ \ \ \ a N = 1 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ a = \frac{1}{N} = b }\)

Wracamy do całkowania:

\(\displaystyle{ \frac{1}{N} \int \frac{1}{x} dx + \frac{1}{N} \int \frac{1}{N-x} dx = \int k\cdot dt }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{N} \ln|x| - \frac{1}{N} \ln|N-x| = kt + A \ \mid \cdot \frac{1}{N}}\)

\(\displaystyle{ \ln(x)- \ln|(N-x) = Nkt + B }\)

\(\displaystyle{ \frac{x(t)}{N-x(t)} = Ce^{Nkt} }\)

Wyznaczamy \(\displaystyle{ x(t) }\)

\(\displaystyle{ x(t) = CNe^{Nkt} - Cx(t) e^{Nkt} }\)

\(\displaystyle{ x(t) + Cx(t)e^{Nkt} = CN e^{Nkt} }\)

\(\displaystyle{ \left(1+ Ce^{Nkt}\right ) x(t) = CNe^{Nkt} }\)

\(\displaystyle{ x(t) = \frac{CNe^{Nkt}}{(1 + Ce^{Nkt})}.}\)

Stałą \(\displaystyle{ C }\) nożna z warunku początkowego:

\(\displaystyle{ x(0) = \frac{CN}{1+C} }\) dla \(\displaystyle{ x(0) \neq N. }\)

PS
Zadanie pochodzi z wykładów równań różniczkowych zwyczajnych Pana Prof. Feliksa Mariana Przytyckiego na Wydziale MIM UW w roku 2000.