Matematyka.pl

Na nieruchomej prowadnicy o postaci pręta o przekroju kołowym osadzony jest wspornik, do którego przyłożona jest siła \(\displaystyle{ P}\) o linii działania równoległej do osi prowadnicy jak na rysunku. Należy wyznaczyć jaki warunek musi spełniać odległość \(\displaystyle{ x}\) między tymi dwoma prostymi, aby siła \(\displaystyle{ P}\) nie powodowała przesuwania się wspornika wzdłuż prowadnicy, jeżeli wiadomo, że współczynnik tarcia statycznego między tuleją wspornika a prowadnicą jest równy \(\displaystyle{ \mu}\). Podstawowe wymiary konstrukcji oznaczone zostały na rysunku. Ciężar własny wspornika należy pominąć. Wskazówka. Przy rozwiązywaniu zadania należy założyć, że na skutek luzu między tuleją a prowadnicą wspornik ulegnie nieznacznemu obrotowi i w położeniu równowagi stykać się będzie z prowadnicą tylko w punktach oznaczonych na rysunku przez \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

1.Wobec luzu w punktach styku A i B ( nacisku) ujawniamy reakcje z uwzgl. zjawiska tarcia.
2.Rozpoznajemy układ sił i korzystamy z warunków równowagi.

Układ tuleja-wspornik, na który działają siły: \(\displaystyle{ \vec{P}, \ \ \vec{R_{A}},\ \ \vec{R_{B}}, \ \ \vec{N_{A}}, \ \ \vec{N_{B}}, \ \ \vec{T_{A}}, \ \ \vec{T_{B}}.}\)

Metoda geometryczna

Przedłużamy odcinek \(\displaystyle{ \overline{AC} }\) i na przedłużeniu odmierzamy odcinek \(\displaystyle{ \overline{BC}, }\) tak że \(\displaystyle{ \overline{BC} = \overline{CF}. }\)

Punkt \(\displaystyle{ F }\) łączymy z punktem \(\displaystyle{ E.}\)

Otrzymaliśmy trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ AEF }\), w którym:

\(\displaystyle{ \overline{HF} = \overline{BH}, \ \ \overline{EF} = \overline{EH} + \overline{HF} = \left(x + \frac{1}{2}d \right) + \left(x - \frac{1}{2}d \right).}\)

Z trójkąta \(\displaystyle{ ABF \ \ a = 2x\cdot\tg(\phi), \ \ x = \frac{a}{2\tg(\phi)} = \frac{a}{2\mu},}\)

Warunek \(\displaystyle{ x > \frac{a}{2\mu} }\) zapewnia, że tuleja nie będzie się przesuwała wzdłuż wspornika.

Metoda analityczna 1

Suma rzutów sił na osie prostokątnego układu współrzędnych:

\(\displaystyle{ \sum X = N_{A} - N_{B} = 0 \ \ (1) }\)

\(\displaystyle{ \sum Y = T_{A}+ T_{B} -P = 0 \ \ (2)}\)

\(\displaystyle{ T_{A}= \mu\cdot N_{A}, \ \ T_{B} = \mu \cdot {B} }\)

Suma momentów sił:

\(\displaystyle{ \sum M = T_{B}\cdot d + P\cdot \left( x - \frac{d}{2}\right) - N_{B}\cdot a = 0 \ \ (3) }\)

Z równania pierwszego:

\(\displaystyle{ N_{A} = N_{B} = N \ \ }\)

Z równania drugiego:

\(\displaystyle{ P = T_{A} + T_{B} = \mu \cdot ( N_{A} + N_{B}) = \mu 2N }\)

Z równania trzeciego:

\(\displaystyle{ \mu\cdot N \cdot d + \mu 2N \cdot d \left(x - \frac{d}{2}\right) - N\cdot a = 0,}\)

\(\displaystyle{ \mu\cdot N \cdot d + \mu 2N\cdot x - \mu \cdot N \cdot d - N\cdot a = 0, }\)

\(\displaystyle{ \mu \cdot 2N\cdot x - N\cdot a = 0, \ \ N\cdot (\mu\cdot 2x - a) = 0, \ \ x = \frac{a}{2\mu}.}\)

Metoda analityczna 2

\(\displaystyle{ \sum X = N_{A} - N_{B} = 0 }\)

Stąd

\(\displaystyle{ N_{A} = N_{B} }\)

\(\displaystyle{ \sum Y = T_{A} + T_{B} - P = 0 }\)

Współczynniki tarcia są równe:

\(\displaystyle{ T_{A} = T_{B} = T }\)

Wypadkowa sił tarcia \(\displaystyle{ \vec{T_{A}}, \ \ vec{T_{B}} }\) leży na osi kolumny i równa się \(\displaystyle{ 2T.}\)

W ten sposób zredukowaliśmy układ sił do dwóch par:

Para \(\displaystyle{ I : \ \ \vec{P}, \ \ 2\vec{T} }\)

Para \(\displaystyle{ II: \ \ \vec{N_{A}}, \ \ \vec{N_{B}} }\)

Momenty tych par sił są równe.

\(\displaystyle{ P \cdot x = N_{A}\cdot a, \ \ N_{A} = \frac{T}{\mu}, \ \ T = \frac{P}{2}, }\)

więc

\(\displaystyle{ N_{A} = \frac{P}{2\mu}, \ \ x = \frac{a}{2\mu}. }\)

Pod wpływem siły \(\displaystyle{ P}\) tuleja oprze się na prowadnicy w punktach \(\displaystyle{ A, B}\).
Reakcje normalne w tych punktach odchylą się o kąt tarcia \(\displaystyle{ \rho}\). Wykorzystamy zależność \(\displaystyle{ \tg\rho=\mu}\) do narysowania stożków tarcia
Rysujemy stożki tarcia w punktach A i B . Siła \(\displaystyle{ P}\) musi przechodzić przez współny obszar obu stożków
Granicznym punktem równowagi jest punkt C.
................................................
W oparciu o proste zależności geometryczne i trygonometryczne trójkątów prostokątnych znajdziemy wartość odległości " x"
1.Odległość \(\displaystyle{ a}\). Patrz rysunek
\(\displaystyle{ a=AD+EB}\), (1)
Gdzie
\(\displaystyle{ AD=DC \cdot \tg\rho}\),
\(\displaystyle{ DC=x+ \frac{d}{2} }\)
\(\displaystyle{ EB=EC \cdot \tg\rho}\),
\(\displaystyle{ EC=x- \frac{d}{2} }\)
Po podstawieniu do równości (1)otrzymamy warunek równowagi granicznej
\(\displaystyle{ x \ge \frac{a}{2 \cdot \tg\rho} }\), (2)

Czarna magia te stożki tarcia. Gdzie ta siła \(\displaystyle{ P}\), może leżeć żeby była równowaga? Bo ona jest prostopadła do osi stożka, ale jej linia działania nie leży w całości w tych stożkach tarcia. Czy ważny jest też punkt przyłożenia siły \(\displaystyle{ P}\), czy tylko jej linia działania? A jeśli \(\displaystyle{ x}\) będzie mniejsze od tej wartości, to co się stanie? Równowaga zostanie zachwiana na skutek czego?

Zajrzeć do bogatej literatury mechaniki technicznej, ogólnej, Polecam podręczniki akademickie prof. prof. Misiaka, Leyki.
W sieci mnóstwo wyjaśnień dobrze zobrazowanych. Dogłębnie np. tu - http://limba.wil.pk.edu.pl/kpmoc/images/stories/kpmoc/pracownicy/PSz/MT/PSz_MT_I_14.pdf