Uzasadnij, że jeśli.....

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
kubastan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 27 mar 2006, o 16:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 31 razy

Uzasadnij, że jeśli.....

Post autor: kubastan » 24 paź 2007, o 20:54

WItam wszystkich :smile:
Mam dla was takie o to zadanie:
zad.
Uzasadnij, ze jesli \(\displaystyle{ a^{x}+a^{-x} (a>0)}\) jest liczbą całkowita, to \(\displaystyle{ a^{3x}+a^{-3x}}\) tez jest liczba calkowita.
Z gory dzieki za pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

Uzasadnij, że jeśli.....

Post autor: andkom » 24 paź 2007, o 21:26

Ponieważ
\(\displaystyle{ a^{3x}+a^{-3x}=(a^x+a^{-x})^3-3(a^x+a^{-x})}\),
więc \(\displaystyle{ a^{3x}+a^{-3x}}\) jest liczbą całkowitą, jako różnica dwóch liczb całkowitych.

Awatar użytkownika
kuch2r
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2303
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

Uzasadnij, że jeśli.....

Post autor: kuch2r » 24 paź 2007, o 21:33

Lemat:
Jezeli \(\displaystyle{ a\equiv b \mod c^n a\equiv b \mod c}\)
Niech:
\(\displaystyle{ (a^{x}+a^{-x})\in Z}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2x}+1}{a^{x}}\in Z\Rightarrow a^{2x}+1\equiv 0 \mod a^{x}}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ a^{3x}+\frac{1}{a^{3x}}=\frac{a^{6x}+1}{a^{3x}}}\)
Wystarczy dalej dowiesc,ze:
\(\displaystyle{ a^{6x}+1\equiv 0 \mod a^{3x}}\)
Na mocy lematu:
\(\displaystyle{ a^{6x}+1\equiv 0 \mod a^{3x} a^{6x}+1\equiv 0 \mod a^{x}}\)
\(\displaystyle{ a^{6x}+1\equiv 0 \mod a^{x}\\(a^{2x})^3+1\equiv 0 \mod a^x\\(-1)^{3}+1\equiv 0 \mod a^x}\)

kubastan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 27 mar 2006, o 16:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 31 razy

Uzasadnij, że jeśli.....

Post autor: kubastan » 24 paź 2007, o 23:49

Jejku jakies mod tutaj widze;p Pamietam ze w informatyce mod oznacze dzielenie z reszta. TYlko ze nigdy czegos takiego nie bralismy i niestosowalismy w matematyce... Rozwiazanie adkoma jest raczej poprawne tylko ze wydaje sie troche zbyt proste;p Potraficie jeszcze to jakos udowodnic, tylko prosilbym rozwiazanie na miare klasy 3 liceum;p

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Uzasadnij, że jeśli.....

Post autor: Piotr Rutkowski » 24 paź 2007, o 23:53

Ehem, rozwiązanie andkoma jest poprawne i nie wiem czemu chciałbyś zastosować jakieś inne.
kuch2r stosował tutaj kongruencje, o których możesz poczytać w naszym kompendium

Awatar użytkownika
Undre
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1430
Rejestracja: 15 lis 2004, o 02:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja:
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 92 razy

Uzasadnij, że jeśli.....

Post autor: Undre » 25 paź 2007, o 01:15

kubastan pisze:Pamietam ze w informatyce mod oznacze dzielenie z reszta
a wrecz reszte z dzielenia

ODPOWIEDZ