wykazać że ciąg niema granicy

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
Sailian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 17 paź 2007, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

wykazać że ciąg niema granicy

Post autor: Sailian » 24 paź 2007, o 20:40

Wykazać że ciąg :


\(\displaystyle{ \begin{cases} 1/n\\n/(n+2)\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ dla \ pierwszego \ 1/n \ n=2k-1}\)
\(\displaystyle{ dla \ drugiego \ n/(n+2)\ n=2k}\)

niema granicy
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

wykazać że ciąg niema granicy

Post autor: mostostalek » 24 paź 2007, o 20:58

hmmm \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) zbiega do 0, \(\displaystyle{ \frac{n}{n+2}}\) do 1 zatem istnieją dwa różne punkty skupienia, wyrazy ciągów są poprzeplatane, zatem jedna granica nie istnieje to takie uzasadnienie bardziej aniżeli dowód, ale powinno wystarczyć

[ Dodano: 24 Października 2007, 21:06 ]
może tak wyglądałby bardziej formalny dowód..
wiadomo, że ciąg jest zbieżny do swojej granicy g, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieżny do g.. weźmy podciąg Twojego ciągu, którym będą nieparzyste wyrazy tegoż ciągu.. podciąg ten jest zbieżny do 0, zatem wnosimy, że aby ciąg był zbieżny, to każdy jego podciąg powinien być zbieżny do 0.. wtedy tylko granicą tego ciągu byłoby właśnie 0.. ale weźmy podciąg złożony z parzystych wyrazów ciągu.. podciąg ten jest zbieżny do 1, co doprowadza nas do sprzeczności, zatem ciąg wyjściowy nie jest zbieżny, a co za tym idzie nie posiada granicy:)

ODPOWIEDZ