Matematyka.pl

Podczas myślenia nad rozwiązaniem zadania z tego forum, zacytuję jego treść:

Udowodnić, że w ciągu \(\displaystyle{ n^2+1}\) są dowolnie duże sekwencje kolejnych wyrazów liczb złożonych.

zacząłem mieć wątpliwości co do wyrażenie "dowolnie duże" - domyślam się, że należy wykazać, że po prostu długość tych sekwencji jest nieograniczona. Jednak powiedzmy, że wykazałbym, że nie ma sekwencji o długości \(\displaystyle{ 2}\) (są krótsze lub dłuższe), to czy formalnie wykonałbym zadanie?

Nie, bo w matematyce standardową interpretacją takiego zdania jest

"Istnieją dowolnie duże liczby naturalne \(\displaystyle{ k}\), takie że w ciągu \(\displaystyle{ n^2+1}\) istnieje sekwencja długości \(\displaystyle{ k}\) składająca się z liczb złożonych"

lub jeszcze ściślej

"Dla każdego \(\displaystyle{ k_0 \in \mathbb{N}}\) istnieją \(\displaystyle{ k \ge k_0}\) i \(\displaystyle{ n_0 \in \mathbb{N}}\), takie że liczby \(\displaystyle{ n_0^2 + 1, \ldots, (n_0+k-1)^2+1}\) są złożone".

Po pierwsze więc nie jest wymagane, by istniały takie sekwencje dla każdej długości, a jedynie dowolnie długie, więc przykładowo wystarczyłoby, by każda potęga trójki była długością pewnej takiej sekwencji. Po drugie zaś, sekwencje nie muszą być maksymalne - zatem i tak z istnienia dowolnie długich sekwencji wynika istnienie sekwencji każdej długości. Przykładowo z istnienia sekwencji długości pięć wynika istnienie sekwencji (niemaksymalnej) długości dwa, bo wystarczy odrzucić ostatnie trzy wyrazy.

Dziękuję. Przepraszam jeśli to głupie pytanie.

Nie jest głupie - język matematyczny jest precyzyjny i jednoznaczny, ale tylko wtedy, gdy interpretuje się go zgodnie z regułami przyjętymi w matematyce. Tych reguł typowo naucza się na pierwszym roku studiów lub w porządnych liceach, czasem można też poznać je z podręczników. Jednak jest to w zasadzie podzbiór języka polskiego, co rodzi naturalną pokusę, by interpretować go zgodnie z regułami nie matematyki, lecz języka potocznego - a wtedy bywa, że tej jednoznaczności trudno się w nim doszukać.

Pytanie wcale nie było głupie, natomiast sformułowanie zadania stwarza wątpliwości. Nie byłoby ich gdyby w zadania pytano o "dowolnie długie" sekwencje. Natomiast "dowolnie duża" może byc interpretowane jako sekwencja dwóch liczb o baaardzo dużych wartościach.

sekwencja := układ jakichś elementów, w którym następują one w określonej kolejności /sjp /

Czy sekwencja `200,400` jest większa niż `1,2,3`

a4karo pisze: 3 lip 2024, o 09:21 sformułowanie zadania stwarza wątpliwości. Nie byłoby ich gdyby w zadania pytano o "dowolnie długie" sekwencje.

To była moja pierwsza myśl, jak zobaczyłem to zadanie...

JK

Wątpliwości są zwykle dobre: inicjują myślenie...

Słabe usprawiedliwienie...

JK

"Istnieją dowolnie duże liczby naturalne \(\displaystyle{ k}\), takie że w ciągu \(\displaystyle{ n^2+1}\) istnieje sekwencja długości \(\displaystyle{ k}\) składająca się z liczb złożonych"

I jest pytanie:

Jak liczby pierwsze i złożone są rozmieszczone w ciągu \(\displaystyle{ n^2+1 }\) ? *

Natomiast "dowolnie duża" może byc interpretowane jako sekwencja dwóch liczb o baaardzo dużych wartościach.

oczywiście, ze "dowolnie długie" było znacznie "lepsiejsze".

Jeśli np. \(\displaystyle{ n= 20k+1}\), to \(\displaystyle{ n+1 \ \equiv 2 \ (mod \ 5)}\), tj. liczba \(\displaystyle{ (n+1)^2+1}\) jest złożona.


* Hipoteza \(\displaystyle{ n^2+1 }\) jest chyba wciąż hipotezą....

Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych w ciągu \(\displaystyle{ n^2+1 }\)

Dodano po 1 godzinie 12 minutach 21 sekundach: Dodano po 1 godzinie 29 minutach 46 sekundach: