Równanie różniczkowe... problemik.

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
thorgal0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 paź 2007, o 20:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 1 raz

Równanie różniczkowe... problemik.

Post autor: thorgal0 » 24 paź 2007, o 20:38

Czy ktoś mógłby pomóc? Wcale nie wiem jak się do tego zabrać. Ponoć jest jakieś podstawienie, które sprowadza równanie do równania jednorodnego. Ale jak to zrobić?
\(\displaystyle{ y'=\frac{y+2}{x+y-1}}\)

Z góry dzięki za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie różniczkowe... problemik.

Post autor: luka52 » 24 paź 2007, o 21:14

Podstaw:
\(\displaystyle{ u = x-3, \quad v = y+2}\)
a całe równanie ładnie Ci się uprości do:
\(\displaystyle{ v' = \frac{v}{u+v}}\)

thorgal0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 paź 2007, o 20:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 1 raz

Równanie różniczkowe... problemik.

Post autor: thorgal0 » 24 paź 2007, o 21:47

Hmm... Na coś takiego to przy którejś próbie nawet wpadłem. Ale jak to dalej pociągnąć? Bo tu chyba trzeba by kolejne podstawienie zastosować prawda?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Równanie różniczkowe... problemik.

Post autor: luka52 » 24 paź 2007, o 23:56

Trochę przekształceń na początek:
\(\displaystyle{ v' = \frac{1}{\frac{u}{v} + 1}}\)
I następnie podstawiając:
\(\displaystyle{ t = \frac{u}{v} \iff v = \frac{u}{t} \iff v' = \frac{t - u t'}{t^2}}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{t - u t'}{t^2} = \frac{1}{1 + t}\\
t - u t' = \frac{t^2}{1+t}\\
u t' = \frac{t}{1+t}\\
\frac{1 + t}{t} dt = \frac{du}{u} \ldots}\)

I dalej standardowo...

thorgal0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 paź 2007, o 20:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 1 raz

Równanie różniczkowe... problemik.

Post autor: thorgal0 » 25 paź 2007, o 08:15

Dzięki bardzo. Miałem jakieś zaćmienie

ODPOWIEDZ