Matematyka.pl

Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f : \mathbb N\times A \rightarrow \mathbb R}\) taka, że \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem nieprzeliczalnym oraz

• dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN}\) istnieje \(\displaystyle{ s\in \RR}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) zbiór \(\displaystyle{ \{a\in A\colon |f(n,a)-s|>\varepsilon\}}\) jest skończony;
• dla każdego \(\displaystyle{ a\in A}\) istnieje permutacja \(\displaystyle{ \sigma\colon\NN\to\NN}\) taka, że \(\displaystyle{ f(\sigma(n),a)\to_{n\to\infty} t}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t=t_a\in\mathbb R}\) (oczywiście liczba \(\displaystyle{ t}\) nie zależy od wyboru permutacji \(\displaystyle{ \sigma}\)), przy czym liczby \(\displaystyle{ t_a}\) są parami różne.

Problem jest inspirowany przestrzenią \(\displaystyle{ Z=X\times Y\setminus\{(x_0,y_0)\}}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) to przestrzeń z jednym punktem skupienia \(\displaystyle{ x_0}\), a \(\displaystyle{ Y}\) to przestrzeń z jednym punktem skupienia \(\displaystyle{ y_0}\), przy czym \(\displaystyle{ \aleph_0<|X|<|Y|}\). W książce Engelkinga "Zarys topologii ogólnej" autor twierdzi, że dla każdej funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f: Z\to \RR}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ r\in \RR}\) i zbiory \(\displaystyle{ X_0\subset X\setminus \{x_0\}}\), \(\displaystyle{ Y_0\subset Y\setminus \{y_0\}}\) takie, że \(\displaystyle{ |X_0|\leq \aleph_0}\), \(\displaystyle{ |Y_0|\leq |X|}\) oraz \(\displaystyle{ f(x,y)=r}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in Z\setminus(X_0\times Y\cup X\times Y_0)}\). Zamieszczony dowód według mnie ma lukę i zastanawiam się, czy jest ona do naprawienia.

Taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie istnieje.
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ f}\) jak w zadaniu istnieje. Dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) niech \(\displaystyle{ s_n}\) oznacza \(\displaystyle{ s}\) z warunku w pierwszej kropce. Wtedy z tegoż warunku wynika, że istnieje przeliczalny zbiór \(\displaystyle{ A'\subseteq A}\) taki, że dla wszystkich \(\displaystyle{ a\in A\setminus A'}\) i wszystkich \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(n,a) = s_n}\). Ale wtedy wszystkie liczby \(\displaystyle{ t_a,a\in A\setminus A'}\) są równe, sprzeczność z warunkiem w drugiej kropce.

matmatmm pisze: 16 cze 2024, o 16:12Problem jest inspirowany przestrzenią \(\displaystyle{ Z=X\times Y\setminus\{(x_0,y_0)\}}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) to przestrzeń z jednym punktem skupienia \(\displaystyle{ x_0}\), a \(\displaystyle{ Y}\) to przestrzeń z jednym punktem skupienia \(\displaystyle{ y_0}\), przy czym \(\displaystyle{ \aleph_0<|X|<|Y|}\). W książce Engelkinga "Zarys topologii ogólnej" autor twierdzi, że dla każdej funkcji ciągłej \(\displaystyle{ f: Z\to \RR}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ r\in \RR}\) i zbiory \(\displaystyle{ X_0\subset X\setminus \{x_0\}}\), \(\displaystyle{ Y_0\subset Y\setminus \{y_0\}}\) takie, że \(\displaystyle{ |X_0|\leq \aleph_0}\), \(\displaystyle{ |Y_0|\leq |X|}\) oraz \(\displaystyle{ f(x,y)=r}\) dla \(\displaystyle{ (x,y)\in Z\setminus(X_0\times Y\cup X\times Y_0)}\).

Takie twierdzenie na pewno nie zachodzi - może pominąłeś jakieś założenie, na przykład zwartość \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) ?

Pisząc "przestrzeń z jednym punktem skupienia \(\displaystyle{ x_0}\)" miałem na myśli konkretną topologię, gdzie zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x_0}\) do niego nie należy lub ma dopełnienie skończone. Nie pomyślałem, że są inne topologie, które również mają dokładnie jeden punkt skupienia.

A co do twierdzenia, to po przeczytaniu dowodu krl i ponownym przemyśleniu sądzę, że jest prawdziwe (ale niedokładnie napisane w Zarysie).