Granica ciągu

[Damieux]

Witam,
nie wiem jak obliczyć granicę ciągów: \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{100 \sin n}{ \sqrt{n} } }\) i \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{8 \cos n ^{2} }{3n+1} }\)

[Janusz Tracz]

Hint: Twierdzenie o 3 ciągach. Oszacowania nie są trudne.

[Jan Kraszewski]

Z twierdzenia o trzech ciągach - sinus i cosinus są ograniczone.

JK

[Damieux]

a) \(\displaystyle{ \frac{100}{ \sqrt{n} } \le \frac{100 \sin n}{ \sqrt{n} } \le \frac{ \sqrt{n} \cdot \sin n}{ \sqrt{n} } }\)

b) \(\displaystyle{ \frac{8}{3n+1} \le \frac{8 \cos n ^{2} }{3n+1} \le \frac{8 \cdot 3}{3n+1} }\)

W ten sposób?

[Jan Kraszewski]

Nie. Oba oszacowania są nieprawdziwe (skąd je wziąłeś? Uważasz, że \(\displaystyle{ \sin n\ge 1}\) i \(\displaystyle{ \cos n ^{2}\ge 1}\) ?!), a oszacowanie \(\displaystyle{ \frac{100 \sin n}{ \sqrt{n} } \le \frac{ \sqrt{n} \cdot \sin n}{ \sqrt{n} }}\), poza tym, że nieprawdziwe, jest zupełnie nieprzydatne.

Wiesz na czym polega twierdzenie o 3 ciągach?

[Damieux]

Wcale nie uważam, że \(\displaystyle{ \sin n \ge 1}\) i \(\displaystyle{ \cos ^{2}n \ge 1 }\), ale przyjmują wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1;1\right\rangle }\), dlatego np. w przykładzie b) zamiast \(\displaystyle{ \cos ^{2} n }\) podmieniłem na \(\displaystyle{ 3}\), bo \(\displaystyle{ 3>\left\langle -1;1\right\rangle }\), a przecież kolejny wyraz ma być większy. Mianowniki są te same, więc licznik wystarczy zwiększyć..

[Jan Kraszewski]

Wcale nie uważam, że \(\displaystyle{ \sin n \ge 1}\) i \(\displaystyle{ \cos ^{2}n \ge 1 }\),

Ależ uważasz: skoro piszesz

\(\displaystyle{ \frac{100}{ \sqrt{n} } \le \frac{100 \sin n}{ \sqrt{n} } }\)

to nierówność ta jest równoważna nierówności

\(\displaystyle{ \sin n \ge 1}\).

Podobnie nierówność

\(\displaystyle{ \frac{8}{3n+1} \le \frac{8 \cos n ^{2} }{3n+1}}\)

jest równoważna nierówności

\(\displaystyle{ \cos ^{2}n \ge 1.}\)

ale przyjmują wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1;1\right\rangle }\), dlatego np. w przykładzie b) zamiast \(\displaystyle{ \cos ^{2} n }\) podmieniłem na \(\displaystyle{ 3}\), bo \(\displaystyle{ 3>\left\langle -1;1\right\rangle }\), a przecież kolejny wyraz ma być większy. Mianowniki są te same, więc licznik wystarczy zwiększyć..

Pomijając już bezsensowność zapisu \(\displaystyle{ 3>\left\langle -1;1\right\rangle }\), czy wiesz, czemu ma służyć to szacowanie?

JK

[Damieux]

Robimy to po to, aby wyznaczyć granicę ciągu środkowego, tego właściwego. Jeżeli wyraz ciągu mniejszy ( lub równy ) od właściwego ma tą samą granicę, co większy ( lub równy) od środkowego to granica będzie taka sama również dla tego po środku

Dodano po 4 minutach 29 sekundach:
Ale \(\displaystyle{ \sin n }\) oraz \(\displaystyle{ \cos ^{2} n}\) są połączone iloczynem z liczbą, więc ten iloczyn w licznikach może być zarówno ujemny, jak i dodatni, więc może lepiej dodać/odjąć jakąś liczbę od licznika ( spoza przedziału \(\displaystyle{ \left( -1;1\right) }\) )

[Jan Kraszewski]

Dobrze. Teraz wróć do wiedzy, którą posiadasz:

przyjmują wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -1;1\right\rangle }\),

i wykorzystaj ją bardziej racjonalnie, niż poprzednio: poprawnie i bez cudowania.

Ale \(\displaystyle{ \sin n }\) oraz \(\displaystyle{ \cos ^{2} n}\) są połączone iloczynem z liczbą, więc ten iloczyn w licznikach może być zarówno ujemny, jak i dodatni, więc może lepiej dodać/odjąć jakąś liczbę od licznika (spoza przedziału \(\displaystyle{ \left( -1;1\right) }\) )

Nie wiem, jaki widzisz związek pomiędzy pierwszą częścią tego zdania a drugą.

JK

[Damieux]

bez cudowania.

To może w ogóle nie potrzeba stosować twierdzenia o trzech ciągach. Skoro licznik jest ograniczony, więc niech będzie on liczbą \(\displaystyle{ a}\), natomiast mianownik zbiega do \(\displaystyle{ \infty }\), więc \(\displaystyle{ \frac{a}{ \infty }=0 }\).

A jeśli byśmy chcieli zastosować jednak to twierdzenie, to może po prostu tak:

\(\displaystyle{ \frac{100 \sin n - 3}{ \sqrt{n} } \le \frac{100 \sin n }{ \sqrt{n} } \le \frac{100 \sin n +3}{ \sqrt{n} } }\)

\(\displaystyle{ \frac{8 \cos n ^{2} -2 }{3n+1} \le \frac{8 \cos n ^{2} }{3n+1} \le \frac{8 \cos n ^{2}+2 }{3n+1} }\)

Dodano po 9 minutach 21 sekundach:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{-3}{ \sqrt{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{3}{ \sqrt{n} }=0 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{-2}{3n+1}= \lim_{ n\to \infty } \frac{2}{ \infty } =0 }\)

[Jan Kraszewski]

To może w ogóle nie potrzeba stosować twierdzenia o trzech ciągach. Skoro licznik jest ograniczony, więc niech będzie on liczbą \(\displaystyle{ a}\), natomiast mianownik zbiega do \(\displaystyle{ \infty }\), więc \(\displaystyle{ \frac{a}{ \infty }=0 }\).

Intuicja słuszna, ale jeżeli chcesz to udowodnić, to bez twierdzenia op trzech ciągach nie obejdziesz się

A jeśli byśmy chcieli zastosować jednak to twierdzenie, to może po prostu tak:

\(\displaystyle{ \frac{100 \sin n - 3}{ \sqrt{n} } \le \frac{100 \sin n }{ \sqrt{n} } \le \frac{100 \sin n +3}{ \sqrt{n} } }\)

\(\displaystyle{ \frac{8 \cos n ^{2} -2 }{3n+1} \le \frac{8 \cos n ^{2} }{3n+1} \le \frac{8 \cos n ^{2}+2 }{3n+1} }\)

Do bani. O granicach ciągów \(\displaystyle{ \frac{100 \sin n - 3}{ \sqrt{n} } ,\frac{100 \sin n +3}{ \sqrt{n} } }\) wiesz dokładnie tyle samo, co o granicy ciągu \(\displaystyle{ \frac{100 \sin n }{ \sqrt{n} } }\), czyli nic. Dokładnie to samo w drugim przykładzie.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{-3}{ \sqrt{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{3}{ \sqrt{n} }=0 }\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{-2}{3n+1}= \red{\lim_{ n\to \infty } \frac{2}{ \infty } }=0 }\)

Pomijając już to, ze za czerwony zapis należą się karne punkty, to jaki ma to związek z zadaniem?

JK

[Damieux]

To na czerwono przez pomyłkę akurat napisałem

Dodano po 5 minutach 36 sekundach:
No to nie wiem jak to zrobić

[Jan Kraszewski]

Zacząć od tego, co wiesz:

\(\displaystyle{ -1\le\sin n\le 1.}\)

JK

[bazyl01]

\(\displaystyle{ -1\leq\sin n\leq1\,\,\,\,\,\,\,\vert\cdot100}\)

\(\displaystyle{ -100\leq100\sin n\leq100\,\,\,\,\,\,\,\vert :\sqrt{n}}\)

\(\displaystyle{ 0\longleftarrow-\frac{100}{\sqrt{n}}\leq\frac{100\sin n}{\sqrt{n}}\leq\frac{100}{\sqrt{n}}\longrightarrow 0}\)

a więc z tw. o 3 ciągach mamy, że \(\displaystyle{ \frac{100\sin n}{\sqrt{n}}\longrightarrow 0}\).

[Jan Kraszewski]

bazyl01, dałbyś mu pomyśleć zamiast robić to zadanie za niego.

JK